Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY
Przykład6.NiechV=R2będziepłaszczyznąkartezjańską,aL—osiąx.
PodprzestrzeniądopełniającądlaLjestdowolnaprostaMprzechodząca
przezpoczątekukładuiróżnaodosix(rys.2).ProstaMprzecinakażdą
prostąrównoległądoosixwdokładniejednympunkcie,takwięczbiórM
parametryzujerodzinętychprostychrównoległych.Tarodzinawłaśniejest
przestrzeniąilorazowąV/L.
Rys.2
TWIERDZENIE10.NiechV=L⊕MbędziesumąprostąpodprzestrzeniL,M
⊂V.Wtedyodwzorowanief:u→u+L(u∈M)jestizomorfizmempomiędzy
MiV/L.
Dowód.Istotnie,odwzorowaniefjestliniowe,ponieważ
f(αu+Bv)=αu+Bv+L=α(u+L)+B(v+L)=αf(u)+Bf(v).
Niechv+LbędziedowolnymelementemzV/L.Namocyzałożeniav=x+y
dlapewnychx∈Liy∈M,więcv+L=x+y+L=(x+L)+(y+L)=
L+(y+L)=y+L=f(y).Oznaczatosurjektywnośćodwzorowaniaf.Jeśli
ponadtou∈Kerf,tou+L=L,astądu∈L.Alejednocześnieu∈Moraz
L∩M={0}.Zatemu=0,czyliKerf={0}.Wobectegofjestbijekcją.
WNIOSEK.JeśliprzestrzeńVjestskończeniewymiarowaiLjestdowolnąpod-
przestrzeniąwV,to
dimV/L=dimV−dimL.
Inaczejmówiąc,dimV/L=codimVL(1).
Dowód.Namocytwierdzenia9istniejepodprzestrzeńM⊂Vtaka,żeV=
L⊕M,wszczególnościdimM=dimV−dimL.Alezgodnieztwierdzeniem10
podprzestrzeńMjestizomorficznazprzestrzeniąilorazowąV/L.
ĆWICZENIA
1.Ilepodprzestrzenik-wymiarowych(1<k<n)man-wymiarowaprzestrzeń
liniowaVnadciałemFqoqelementach?
(
1)Warunektenmożnawykorzystaćdozdefiniowaniakowymiaruwprzypadku,gdyprze-
strzeńVjestnieskończeniewymiarowa(przyp.tłum.).
