Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.WYMIARIBAZA
19
DEFINICJA7.Jeślikażdywektoru∈Umożnaprzedstawićwpostaci(9)na
dokładniejedensposób,tosumę(8)nazywamysumąprostąipiszemy
U=U1⊕...⊕Um.
Okazujesię,żesuma(8)jestprostajużwtedy,gdyjednoznacznośćzapisu(9)
mamiejscetylkodlawektorazerowego,tj.
0=u1+...+um⇒u1=0,
...,um=0.
Istotnie,jeślitensłabszywarunekjestspełniony,tozrównościrozkładów
u1+...+um=u=u
!
1+...+u!
m
wynika,że0=(u1−u!
1)+...+(um−u!
m),gdzieui−u!
i∈Ui.Zatemui−u!
i=0
dlai=1,...,m,czyliu1=u!
1,...,um=u!
m,tj.suma(8)jestrzeczywiściesumą
prostą.
Przyjmijmyoznaczenie
U1+...+^
Ui+...+Um=U1+...+Ui-1+Ui+1+...+Um
(inaczejmówiąc,daszeknadskładnikiemsumyoznacza,żeskładniktennależy
opuścić).
TWIERDZENIE7.SumaalgebraicznaU=U1+...+Umpodprzestrzenilinio-
wychjestsumąprostąwtedyitylkowtedy,gdy
Ui∩(U1+...+^
Ui+...+Um)={0}
dlai=1,...,m.
(10)
Dowód.Załóżmy,żerozpatrywanasumajestprosta.Rozważmydowolnywektor
x∈Ui∩(U1+...+^
Ui+...+Um)dlaustalonegowskaźnikai.Wówczasx=
u1+...+^
ui+...+umiotrzymujemydwarozkładywektorazerowego:
0+...+0+0+0+...+0=0=u1+...+ui-1+(−x)+ui+1+...+um.
Ponieważsumajestprosta,rozkładytepowinnybyćidentyczne.Wszczególności
−x=0iwobectegorówność(10)jestspełniona.
Naodwrót,zakładając(10),udowodnimyjednoznacznośćrozkładuwektora
zerowego(jakwiemy,tojużwystarcza,bysumabyłaprosta).Istotnie,rozważmy
dowolnyrozkład
0=a1+...+ai+...+am.
Wówczasdladowolnegoi=1,...,mmamy
−ai=a1+...+ai-1+ai+1+...+am∈Ui∩(U1+...+^
Ui+...+Um)={0},
awięcai=0.
