Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY
układyliniowozależnemogąsięoczywiścieróżnićliczbąwektorów;ponadtoukład
liniowoniezależnymożebyćrównoważnyukładowiliniowozależnemu.Jeślijed-
nakwdanymukładziewektorówzVrozpatrzymydwamaksymalnepodukłady
liniowoniezależne(maksymalnewtymsensie,żeniesązawartewżadnympod-
układzieliniowoniezależnymowiększejliczbiewektorów),toobatepodukłady
będąmiałytęsamąliczbęwektorów.Wynikatoztwierdzeń1i2.
DEFINICJA2.Rzędemukładuwektorównazywamyliczbęwektorówdowolnego
maksymalnegopodukładuliniowoniezależnego.
Powyższefakty,rozpatrywanejakowłasnościprzestrzeniV,mająjeszczenieco
innąinterpretację,któraodegrazasadnicząrolęwdalszychrozważaniach.
2.Wymiaribazaprzestrzeniliniowej.Możliwesądwaprzypadki:albo
wprzestrzeniVmożnaznaleźćdowolnąliczbęwektorówliniowoniezależnych
(układwektorówdowolnegorzędu),iwtedyprzestrzeńnazywamynieskończenie
wymiarową,albowszystkiedostatecznieliczneukładywektorówwVsąliniowo
zależne.Sensownateoriaprzestrzeninieskończeniewymiarowychwymagawpro-
wadzeniawnichdodatkowejstruktury,zwykletopologicznej;dlategoprzestrzenie
takiebędąsięwtejksiążcepojawiaćtylkosporadycznie.
DEFINICJA3.PrzestrzeńliniowąVnazywamyn-wymiarową(ipiszemydimKV
=nlubpoprostudimV=n),jeśliwVistniejenwektorówliniowoniezależnych,
aleniemaukładuliniowoniezależnegoowiększejliczbiewektorów.Przestrzeń
zerowąuznajemyzazerowymiarową.
Definicjatazgadzasięzpojęciemwymiaruprostej(przestrzeńjednowymia-
rowa),płaszczyzny(n=2),przestrzeniR3
fiz(n=3).Wnowejterminologiirząd
układuwektorów(v1,v2,...)tonicinnego,jaktylkowymiarpowłokiliniowej
(v1,v2,...).
Przykład1.PrzestrzeńkartezjańskaKnmawymiarn(por.częśćI,
rozdz.2).Gdybytakniebyło,naszadefinicjawymiaruniebyłabywielewarta.
Przykład2.Przestrzeńmacierzyowymiarachm×nmawymiarmn,oczym
sięłatwoprzekonać,umieszczającwszystkieelementymacierzywjednym
wierszudługościmniutożsamiającprzestrzeńmacierzym×nzprzestrzenią
kartezjańskąKmn.
Przykład3.Przestrzeńfunkcjizprzykładu4w§1jestoczywiścienieskoń-
czeniewymiarowa.
