Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§1.ABSTRAKCYJNEPRZESTRZENIELINIOWE
3
x∈R+dopotęgiλ),tobeztrudumożnasprawdzić,żeaksjomaty(PL1)–(PL8)
sąspełnione,czyliVjestprzestrzeniąliniowąnadR.Wektoremzerowymjest
1∈R+.Wtymwypadkuzapisx+g=xg,λx=xλprowadziłbyoczywiściedo
nieporozumień.
Otojeszczejedenprzykład,wktórymosobneoznaczeniasąwskazane.Niech
VbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałemCliczbzespolonych.Rozważmynową
przestrzeńliniowąV,ztąsamągrupąaddytywnąV,alezinnymmnożeniem
przezskalary:(λ,x)→λ⊙x=λx,gdzieλtoliczbasprzężonadoλ.Ponieważ
odwzorowanieλ→λjestautomorfizmemciałaC,łatwosprawdzić,żeVjestprze-
strzeniąliniową.JednoczesnerozpatrywanieprzestrzeniViVbezwprowadzenia
symbolu⊙(lubjakiegokolwiekinnego)byłobyutrudnione.
Umowa.Czytelnikzauważyłzapewne,żewektoryprzestrzeniliniowychozna-
czamyniekiedypółgrubymi,aniekiedyjasnymiliteramialfabetułacińskiego,
aczasemnawetliteramigreckimi.Wdalszymciąguwabstrakcyjnychprzestrze-
niachliniowychbędziemystosowaćnajczęściejczcionkępółgrubą;niemniejtrzy-
maniesiętejzasadywewszystkichkonkretnychprzykładachbyłobynieprak-
tyczne.Nieoznaczamyteżwektorówliterązestrzałką.Przypewnejwprawie
przyjętyprzeznaskompromisniebędzieprowadziłdonieporozumień.
Bezpośredniozdefinicjiprzestrzeniliniowejwynikająnastępującewłasności,
którymibędziemysięposługiwaćbezjakichkolwiekkomentarzy:
(a)0x=λ0=0dladowolnychλ∈Kix∈V.Istotnie,z(PL7)wynika,że
0x=(0+0)x=0x+0x,skąd0x=0.Analogicznieλ0=λ(0+0)=λ0+λ0,
tj.λ0=0.
(b)λx=0⇒(λ=0lubx=0).Jeślinp.λ/=0,tox=1·x=(λ-1λ)x=
λ-1(λx)=λ-10=0.
(c)(n·1)x=x+x+...+x(nskładników)dlakażdejliczbycałkowitej
dodatniejnikażdegox∈V(1oznaczajedynkęciałaK;dowódprzezindukcję
względemn).Naturalnejestpisanienxzamiast(n·1)x.JeśliciałoKmaskończoną
charakterystykęp,topx=0dlakażdegox∈V.
(d)(−1)x=−x.Istotnie,x+(−1)x=1x+(−1)x=(1+(−1))x=0x=0.
2.Powłokiliniowe.Podprzestrzenie.Zauważmy,żemającdowolnyskoń-
czonyukładskalarówλ1,...,λn∈Kiwektorówx1,...,xn∈V,możemyutwo-
rzyćwektor
λ1x1+...+λnxn=
Σ
i=1
n
λixi,
zwanykombinacjąliniowąwektorówxiowspółczynnikachλi.Ogólniej,jeśliI
jestdowolnymzbioremwskaźników,byćmożenieskończonym,aM={xi∈V|
i∈I}—podzbioremprzestrzeniV,tomożnarozpatrywaćkombinacjeliniowe
Σi∈Iλixiowspółczynnikachλi∈Kprzyzałożeniu,żetylkoskończeniewiele
