Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY
alepodprzestrzeńta(ściślejmówiąc,powłokaliniowa)jestjużobiektemnieco
innejnatury:oileRnmabazę(1,0,...,0),...,(0,...,0,1),topowłokaliniowa
U⊂Rnjużnaogółbazytakiejpostacinieposiada.Niedogodnośćtawynikaze
zbytkonkretnejnaturyRn.
Wistociewłasności(PL1)–(PL8),którymisięjużfaktycznieposługiwaliśmy
iktóreprzypomnimyponiżej,przysługująnietylkoprzestrzeniRn.Rozpatrzmy
naprzykładrównanieróżniczkowed2x/dt2+x=0.Wiadomo,żejegorozwiązanie
ogólnemapostaćx(t)=αsint+Bcost,gdzieα,B∈R.Jeśliαo,Bomajątę
własność,żeαosint+Bocost=0dlakażdegot,tobiorąckolejnot1=π/2,t2=0,
otrzymamyαo=0=Bo.Pozwalatomówićoliniowejniezależnościrozwiązań
szczególnychsint,costwdwuwymiarowejprzestrzeniliniowejrozwiązańrównania
d2x/dt2+x=0,wsensienastępującejdefinicji:
DEFINICJA1.NiechKbędziedowolnymciałem.Przestrzeniąliniową(lubwek-
torową)nadciałemKnazywamykażdyzbiórVelementów(zwanychwektorami),
spełniającynastępującewarunki:
(a)WzbiorzeVokreślonejestdziałaniedwuargumentoweV×V→V,zwykle
zapisywaneaddytywnie:(x,y)→x+yiwprowadzającewVstrukturęgrupy
abelowej.Takwięc:
(PL1)x+y=y+x(przemiennośćdodawania);
(PL2)(x+y)+z=x+(y+z)(łącznośćdodawania);
(PL3)istniejewektorzerowy0taki,żex+0=xdlakażdegox∈V;
(PL4)dlakażdegox∈Vistniejewektorprzeciwny−xtaki,żex+(−x)=0.
(b)OkreślonajestoperacjaK×V→V,zwanamnożeniemwektorówzVprzez
skalaryzKispełniającanastępującewarunki:
(PL5)1·x=x(unitarność);
(PL6)(αB)x=α(Bx)(łączność).
Dodawanieimnożenieprzezskalarypowiązanesądwomaprawamirozdziel-
ności:
(PL7)(α+B)x=αx+Bx;
(PL8)λ(x+y)=λx+λy.
Zwróćmyuwagęnafakt,żewrówności(PL7)znak+polewejstronieoznacza
dodawanieskalarówwK,apoprawej—dodawaniewektorów.Ściślejmówiąc,
należałobytedziałaniaoznaczyćróżnymisymbolami(np.odpowiednio+i⊕),
podobniejakmnożeniewKimnożeniewektorówprzezskalary(np.·i⊙).Na
ogółtegonierobimy,gdyżzkontekstuwynika,ojakimdziałaniumowa.Aby
przekonaćCzytelnika,żeuwagataniejesttylkoteoretyczna,iuchronićgoprzed
możliwymibłędami,rozważmyzbiórV=R+liczbrzeczywistychdodatnich.Jeśli
przyjmiemyx⊕g=xg(zwykłemnożeniewR)iλ⊙x=xλ(podnoszenie
