Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.WYMIARIBAZA
17
PodprzestrzeńtęnazywamysumąalgebraicznąpodprzestrzeniU1iU2iozna-
czamyprzezU1+U2.
Jasnejest,żeU1+U2=U2+U1,przyczymU1+U2=U2wtedyitylko
wtedy,gdyU1⊂U2.Analogicznieokreślamysumęalgebraicznądowolnejskończo-
nejliczbypodprzestrzeniliniowychU1,...,Um.Mianowicie,przezU1+...+Um
oznaczamynajmniejsząpodprzestrzeńliniowązawierającąwszystkiewektoryzUi
dlai=1,...,morazwszystkieichkombinacjeliniowe.Wtakichsumachniema
potrzebywprowadzanianawiasów,ponieważUi+(Uj+Uk)=(Ui+Uj)+Uk.
JeśliAiBsądowolnymibryłamiwprzestrzenitrójwymiarowej,byćmoże
zniepustączęściąwspólnąA∩B,avol(A)ivol(B)sąichobjętościami,tozachodzi
równość
vol(A∪B)=vol(A)+vol(B)−vol(A∩B).
Otoodpowiedniktegofaktudlapodprzestrzeniliniowych:
TWIERDZENIE6.NiechUiWbędąskończeniewymiarowymipodprzestrze-
niamiprzestrzeniliniowejV.Wtedy(1)
dim(U+W)=dimU+dimW−dim(U∩W).
Dowód.Przyjmijmy
dimU=k,
dimW=l,
dim(U∩W)=m.
(7)
PonieważU∩W⊂U,W,więcm<kim<l.WybierzmywU∩Wjaką-
kolwiekbazę(e1,...,em)ikorzystającztwierdzenia3,uzupełnijmyją,zjednej
strony,dobazy(e1,...,em;a1,...,ak-m)podprzestrzeniU,azdrugiej—do
bazy(e1,...,em;b1,...,bl-m)podprzestrzeniW.KażdywektorsumyU+W
jestpostaciu+w,gdzieu∈Uiw∈W,atooznacza,że
U+W=(e1,...,em;a1,...,ak-m;b1,...,bl-m).
Jeśliwykażemy,żeukład
e1,...,em;a1,...,ak-m;b1,...,bl-m
jestliniowoniezależny,atymsamymzachodzirówność
dim(U+W)=m+(k−m)+(l−m)=k+l−m,
identycznaz(7),todowódbędziezakończony.Przypuśćmy,żeniejesttoprawdą,
iniech
m
k-m
l-m
Σ
γses+
Σ
αiai+
Σ
Bjbj=0
(∗)
s=1
i=1
j=1
(
1)Wzór(7)wiążesięznazwiskiemHermannaGrassmanna(1809–1877).
