Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.WYMIARIBAZA
23
2.Ustalić,jakiwymiarmająnastępująceprzestrzenieliniowerzeczywistychma-
cierzykwadratowychstopnian:
(a)przestrzeńmacierzysymetrycznych;
(b)przestrzeńmacierzyantysymetrycznych;
(c)przestrzeńmacierzyozerowymśladzie.
3.Jakiwymiarmaprzestrzeńliniowawszystkichwielomianówf(t)jednejzmien-
nejstopni<n,spełniającychwarunekf(1)=0?Znaleźćbazętejprzestrzeni.
4.Udowodnić,żesumaalgebraicznaU=U1+...+Umpodprzestrzenilinio-
wychjestprostadokładniewtedy,gdy
(U1+...+Ui-1)∩Ui={0},
i=2,...,m.
5.WprzestrzeniPnznaleźćmacierzprzejściaodbazy(1,t,...,tn-1)dobazy
(1,t−α,...,(t−α)n-1)(α∈K).
6.NiechBbędziezespolonympierwiastkiemwielomianuf∈Q[t]nieprzywiedl-
negonadQ.ZnaleźćwymiarprzestrzeniliniowejQ[B]=(1,B,...,Bk,...)Q
nadQ.
7.Udowodnić,żedlasumprostychniezachodziprawoskracania,tj.zrówności
sumU⊕W1=U⊕W2niewynikanaogół,żeW1=W2.
8.Ustalić,czyprzestrzeńilorazowaK[t]/Ljestskończeniewymiarowa,jeśliL
jest:
(a)podprzestrzeniąPnwielomianówstopni<n−1;
(b)podprzestrzeniąwielomianówpodzielnychprzeztn;
(c)podprzestrzeniąwielomianówzmiennejt2.
9.UdowodnićnastępującyodpowiednikwzoruGrassmanna:
codim(U+W)+codim(U∩W)=codimU+codimW
(UiWsąpodprzestrzeniamiskończonegokowymiaruwprzestrzeniliniowej
V,niekoniecznieskończeniewymiarowej(1)).
10.Przyoznaczeniachprzykładu8z§1powstajepytanie:jakiesąwymiaryprze-
strzeniSMagn(Q)iMagn(Q)?Rozpatrzmytrywialnemacierzepółmagiczne
0,
E=
1
1
...
1
,
D=
1
1
1
,
S=
1
1
............
1...1
1...1
.
1
1...1
...
(
1)Zob.poprzedniprzypis(przyp.tłum.).
