Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.FUNKCJECIĄGŁE,HOMEOMORFIZMY
31
Wprzestrzeniachmetrycznychopróczodległościmiędzypunktamimożna
takżeokreślićodległośćpunktówodzbiorów.
Definicja1.2.38(odległośćpunktuodzbioru).Niech(Xjd)będzieprze-
strzeni!metryczn!.OdległośćpunktuxEXodzbioruniepustegoA™X
danajestwzorem
dist(xjA)=inf{d(xja):aEA}.
Zauważmy,żejeślixEA,todist(xjA)=0,bod(xjx)=0.Zapomocą
pojęciaodległościpunktuodzbiorumożnaopisaćoperacjędomknięcia.
Lemat1.2.39.JeśliAjestpodzbioremprzestrzenimetrycznej,toxEclA
wtedyitylkowtedy,gdydist(xjA)=0.
Dowód.Faktycznie,inf{d(xja):aEA}=0wtedyitylkowtedy,gdy
dlakażdego5>0istniejetakieaEA,żed(xja)<5,atooznacza,że
itylkowtedy,gdyxEclA.
⇤
3.Funkcjeciągłe,homeomorfizmy
Walgebrzezkażdąstrukturązwiązanejestpojęciehomomorfizmu,czyli
funkcjizachowującejoperacjealgebraiczne.Podobniejestwtopologii,gdzie
zprzestrzeniamitopologicznymizwiązanesąfunkcjeciągłe,czylifunkcje,któ-
Definicja1.3.1(funkcjaciągła).Funkcjaf:XæYzprzestrzeniX
wprzestrzeńYjestciągła,gdyprzeciwobrazkażdegozbioruotwartegowY
jestzbioremotwartymwX.Jeśliponadtofjestsurjekcj!,tomówimy,że
YjestobrazemciągłymprzestrzeniX.Funkcjeci!głenazywamyteżod-
wzorowaniamiciągłymilubprzekształceniamiciągłymi.Zbiórfunkcji
ci!głychzXwYoznaczamysymbolemC(XjY)lubkrótkoC(X),gdyY=R.
Każdafunkcjaokreślonanaprzestrzenidyskretnejjestciągła.Podobnie,
każdafunkcjaowartościachwprzestrzeniantydyskretnejtakżejestciągła.
Funkcjestałesąciągłe,boprzeciwobrazpoprzeztakąfunkcjędowolnegozbio-
rujestalbozbiorempustym,albocałąprzestrzenią.Mniejoczywisteprzykła-
dyfunkcjiciągłychpoprzedzimykryteriamiciągłości.
Twierdzenie1.3.2(kryteriaciągłości).JeśliXiYs!przestrzeniami
topologicznymi,af:XæY,tonastępuj!cewarunkis!równoważne:
(1)funkcjafjestci!gła;
26Intuicyjnie,funkcjafjestciągła,jeślipunktydowolniebliskiezbioruAprzeprowadza
napunktydowolniebliskiezbioruf[A].Oroliciągłościwmatematycepiszem.in.Nagata
lizierzeczywistej,odgrywająteżuogólnieniaciągłości;p.artykułCiesielskiegoGeneralized
duszewski[353].