Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
ROZDZIAŁ1
Przestrzenietopologiczne
1.Generowanietopologii,bazyipodbazy
Topologiajesttorodzinapodzbiorówustalonegozbioruspełniającaokre-
Zarysteoriizbiorówzawierającywykorzystywanewksiążcedefinicjeitwier-
dzeniateoriizbiorów(wrazzdowodami)znajdujesięnakońcuksiążki,wroz-
dzialeszóstym–wDodatku.Wrozdzialepierwszymsąpotrzebnetylkopo-
wszechnieznanepojęcia,któremożnaznaleźćwkażdejksiążcematematycz-
nej,awszczególnościwksiążkachdotyczącychtzw.„wstępudomatematy-
Przypomnijmy,żejeślixjestelementem(nazywanymczęstopunktem)
zbioruA,topiszemyxEA.Napisx/
EAoznacza,żexniejestelementem
zbioruA.JeślidanesązbioryAiB,tosymbolAfiBoznaczasumęzbiorów,
czyliogółtychelementów,którenależądoAlubdoB,asymbolAflBozna-
czaichiloczyn(przecięcie,częśćwspólną),czylizbiórtychelementów,które
należązarównodoA,jakidoB.RóżnicaA\Boznaczazbiórtychelemen-
tówzbioruA,którenienależądoB.Jeśli0(x)oznacza,żexmawłasność
0,toogółtychelementówzbioruA,któremająwłasność0,zapisujemyjako
{xEA:0(x)}.Zbiór,któregojedynymielementamisąxig,oznaczamyjako
{xjg}.Jeślix=g,tozamiast{xjg}piszemy{x}.Symbolem™oznaczamy
zawieranielubinaczejinkluzję.AzatemA™Boznacza,żekażdyelement
zbioruAnależydozbioruB.Mówimywówczas,żeAjestpodzbioremzbio-
ruB.SymbolD(A)oznaczazbiórwszystkichpodzbiorówzbioruA.JeśliR
jestrodzinązbiorów,czylizbioremzbiorów,totRoznaczasumętejrodziny,
czyliogółtychelementów,którenależądoprzynajmniejjednegozbioruzro-
dzinyR,natomiastuRtozbiórtychelementów,którenależądowszystkich
elementówrodzinyR.Zbiórpustyoznaczamysymbolemÿ,amoczbioruA,
czyliliczbękardynalnązbioruA,symbolem|A|.Najmniejsząliczbękardy-
nalnąnieskończoną,czylimoczbioruliczbnaturalnych,oznaczamysymbolem
Ê.Zbioryliczbnaturalnych,całkowitych,wymiernych,niewymiernych,rze-
czywistychizespolonychoznaczamyodpowiedniosymbolamiN,Z,Q,P,R
orazC.Zeraniezaliczamydoliczbnaturalnych.Przedziałdomknięty[0j1]
oznaczamysymbolemI.
3