Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Lemat1.1.22.Jeśli(Xj<)jestzbioremliniowouporz!dkowanym,zbiór
ÿ”=A™Xjestdomkniętywtopologiiporz!dkowej,ac=supA,tocEA.
Dowód.JeślicjestelementemnajwiększymzbioruA,tokażdyprzedział
postaci(ajc]przecinazbiórA,azatemcEclA=A.Załóżmyprzypadek
przeciwnyiprzypuśćmy,żec/
EA.PonieważzbiórX\Ajestotwarty,to
istniejątakieajbEX,żecE(ajb)™X\A.Wówczasa<c,awięczgodnie
zdefinicjąkresugórnegoistniejetakiexEA,żea<xŚc<b.Azatem
xE(ajb)™X\A,codajesprzeczność.
⇤
Twierdzenie1.1.23.Każdaprzestrzeńliniowouporz!dkowanawsposób
ci!głyjestspójna.WszczególnościprzestrzeńRztopologi!naturaln!,atakże
każdyprzedziałwzbiorzeRs!spójne.
Dowód.Załóżmy,że(Xj<)jestporządkiemciągłymiprzypuśćmy,że
istniejezbiórdomknięto-otwartyU™XjróżnyodXorazÿ.Wybierzmy
aEUorazbEX\U.Możemyzałożyć,żea<b.Zbiór[ajb]flUjest
c=sup([ajb]flU)E[ajb]flU.Ponieważb/
EU,toaŚc<b.Skorozbiór
Ujestotwarty,toistniejątakiexjgEX,żecE(xjg)™U.Stądwynika,że
(cjg)™[ajb]flU,bogŚb,gdyżb/
EU.Ponadto(cjg)”=ÿ,boporządekna
Xjestgęsty.Lecztojestsprzecznezokreśleniemelementuc.
⇤
2.Metryka,wnętrzeidomknięciezbioru
Niektóreprzestrzenietopologicznemożnaopisaćzapomocąmetryki.Po-
święcimyimcałynastępnyrozdział.Tuprzedstawimyjedynienajważniejsze
pojęciazwiązanezmetryką.
Definicja1.2.1(przestrzeńmetryczna).MetrykąnazbiorzeXnazywa-
myfunkcjęd:XXXæR,któradladowolnychxjgjzEXspełnianastępuj!ce
warunki:
(a)d(xjg)=0wtedyitylkowtedy,gdyx=g;
(b)d(xjg)=d(gjx);
(c)d(xjz)6d(xjg)+d(gjz).
Warunek(c)nazywanyjestwarunkiemtrójkątalubnierównościątrój-
kąta.ZbiórXwrazzmetryk!dnazywamyprzestrzeniąmetrycznąiozna-
czamyjako(Xjd).DlakażdegoxEXikażdejliczby5>0zbiór
Bd(xj5)={gEX:d(xjg)<5}
nazywamykuląotwartąośrodkuwpunkciexipromieniu5.Jeślimetryka
wzbiorzeXjestustalona,tozamiastBd(xj5)piszemykrócejB(xj5).
Zauważmy,żemetrykaprzyjmujetylkowartościnieujemne.Faktycznie,
dladowolnychxjgEXmamy
0=d(xjx)6d(xjg)+d(gjx)=2d(xjg)j
