Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
5.ILOCZYNKARTEZJAŃSKIPRZESTRZENITOPOLOGICZNYCH
45
więcBdA=A,toIntA=ÿjboIntA™A™clA.Jednocześnie,jeśliAjest
zbiorembrzegowym,toX\Ajestzbioremgęstym,awięccl(X\A)=X.
Stądwynika,żeBdA=clAflcl(X\A)=AflX=AjboclA=A.
⇤
Lemat1.4.15.Każdypodzbiórbrzegowyprzestrzeniliczbrzeczywistych
jestprzestrzeni!zerowymiarow!.
Dowód.Załóżmy,żezbiórX™RjestbrzegowyiustalmyxEXoraz
jegootoczenieU™X.Istniejezatemtakiprzedziałotwarty(ajb)™R,że
xE(ajb)flX™U.PonieważzbiórXjestbrzegowy,toistnieją–E(ajx)\X
oraz—E(xjb)\X.WówczasxE(–j—)flX=[–j—]flX™U,awięcxma
wprzestrzeniXotoczeniedomknięto-otwartezawartewU.AzatemXjest
przestrzeniązerowymiarową.
⇤
5.Iloczynkartezjańskiprzestrzenitopologicznych
Dodalszychrozważańpotrzebnajesttopologianailoczyniekartezjańskim.
zastosowaniejejwgeometrii,przyczymbyłotoznaczniewcześniejniżzro-
biłtoSteinitzwtopologii.Iloczynkartezjańskibywaczęstotraktowanyjak
szczególnyprzypadekproduktu,któryprzedstawimypóźniej.
Definicja1.5.1(topologiawiloczyniekartezjańskim).Jeśli(XjTX)oraz
(YjTY)s!przestrzeniamitopologicznymi,totopologiawiloczyniekarte-
zjańskimXXYdanajestwzorem
T={U™XXY:(V(xjg)EU)(÷VETX)(÷WETY)((xjg)EVXW™U)}.
dzinyTXiTY.Zdefinicjiwynika,żejeśliBXjestbaząwprzestrzeniX,aBY
baząwprzestrzeniY,torodzina
B={VXW:VEBXiWEBY}
jestbaząwprzestrzeniXXY.Dostajemystądnastępującąrówność
w(XXY)=max{w(X)jw(Y)}.
(1.24)
Zauważmy,żeprzestrzeńXmazanurzeniewiloczynkartezjańskiXXY
zapomocąwzoruf(x)=(xjgo),gdziegojestdowolnympunktemprze-
strzeniY.PodobniemożnazanurzyćprzestrzeńYwprzestrzeńXXYza
pomocąwzoruf(g)=(xojg),przyczymxoEXjestdowolnieustalone.
Stądwynika,żew(X)Św(XXY).Podobniew(Y)Św(XXY),azatem
31NiezależnieodKartezjuszatakżeFermatrozwijałmetodyalgebraicznewgeometrii,
leczichnieopublikował.Współrzędnekartezjańskiewewspółczesnymznaczeniuwprowadził
