Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4o
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
tęmetrykęjestidentycznaztopologiąprzestrzeniY.Jeślixo=f(ao)oraz
Bfl(xoj5)={gEY:fl(xojg)<5}=
={f(a):aEXifl(f(ao)jf(a))<5}=
={f(a):aEXid(aoja)<5}=f[Bd(aoj5)].
Wynikazniej,żekulewsensiemetrykiflsązbioramiotwartymiwprzestrzeni
Y,bofjesthomeomorfizmem.Ztejsamejrównościwynika,żedlakażdego
zbioruUotwartegowprzestrzeniYorazpunktuxoEUistniejetakie5>0,
żeBfl(xoj5)™U.WystarczywziąćtakieaoEX,żef(ao)=xoitakdobrać
5>0,żeBd(aoj5)™f11[U].Jesttomożliwe,bofunkcjafjestciągłaoraz
aoEf11[U].WówczasBfl(xoj5)=f[Bd(aoj5)]™U.
Ponieważfunkcjeliniowesąhomeomorfizmami,tokażdedwaprzedziały
otwartesąhomeomorficzne.Podobnie,każdedwaprzedziałydomkniętesąho-
meomorficzne.Przedziałotwarty(ajb)niejesthomeomorficznyzprzedziałem
półotwartym(cjd].Gdybyfunkcjaf:(cjd]æ(ajb)byłahomeomorfizmem,to
byćspójna,aniejest,bof[(cjd)]jestsumądwóchniepustychirozłącznych
zbiorówotwartych.Łatwowskazaćhomeomorfizmf:Ræ(≠1j1).Jestnim
naprzykładfunkcjaf(x)=2
fiarctgx.PrzestrzeńRjestzatemhomeomorficz-
nazkażdymprzedziałemotwartym.
Twierdzenie1.3.23.Jeśliprzestrzenieliniowouporz!dkowanes!izo-
morficzne,tos!homeomorficzne.
Dowód.Załóżmy,żezbioryliniowouporządkowane(Xj<)oraz(Yjª)są
izomorficzne,tzn.istniejetakabijekcjah:XæY,że
(ú)a<b≈∆h(a)ªh(b)
dladowolnychajbEX.Wówczasdlakażdego(ajæ)EIntv(Xj<)(p.defini-
go(Ωjb)EIntv(Xj<)mamyh[(Ωjb)]=(Ωjh(b))EIntv(Yjª).Tooznacza
ciągłośćfunkcjih11.Warunek(ú)oznaczateż,żedladowolnychxjgEYnie-
równośćxªgjestrównoważnanierównościh11(x)<h11(g).Argumentując
jakwyżej,dostajemyciągłośćfunkcjih.Tokończydowód.
⇤
4.Zbiorygęste,rodzinyzbiorówparamirozłącznych
Ważnąwłasnościąfunkcjiciągłychjestto,żezależąoneodtego,jakie
mająwartościnapodzbiorachgęstych.
Definicja1.4.1(zbiórgęsty).ZbiórD™XnazywamygęstymwX,
jeśliclD=X.GęstościąprzestrzeniXnazywamyliczbękardynaln!
d(X)=min{|D|:D™XorazclD=X}.
PrzestrzeńXjestośrodkowa,gdyd(X)=Ê.
