Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4.ZBIORYGĘSTE,RODZINYZBIORÓWPARAMIROZŁĄCZNYCH
41
Zdefinicjiwynika,żeD™Xjestzbioremgęstymwtedyitylkowtedy,
gdykażdypodzbiórotwartyniepustyprzestrzeniXprzecinazbiórD.Pojęcie
gęstościrozumiemyniekiedyniecoogólniej.Mówimywtedy,żezbiórA™B
jestgęstywB,jeśliclA=clB.Wszczególnościmówimy,żezbiórA™X
jestośrodkowy,gdyistniejetakizbiórprzeliczalnyD™X,żeA™clD.
Odnotujmytrzyważnewłasnościzbiorówgęstych.
Lemat1.4.2.Jeślifunkcjefjg:XæYs!ci!głe,Yjestprzestrzeni!
Hausdorfia,azbiór{xEX:f(x)=g(x)}jestgęstywX,tof=g.
jestdomknięty,askoroclD=X,toD=X.Tokończydowód.
⇤
Lemat1.4.3.JeśliD™Xjestzbioremgęstym,azbiórU™Xjest
otwarty,tocl(DflU)=clU.
Dowód.JeślixEclU,toUxflU”=ÿdlakażdegootoczeniaUxpunktu
x.PonieważzbiórDjestgęsty,toUxflUflD”=ÿ,awięcxEcl(UflD).
MamywięcclU™cl(UflD).Inkluzjaodwrotnajestoczywista.
⇤
Lemat1.4.4.JeśliD™Xjestzbioremgęstym,azbioryUjV™Xs!
regularnieotwarteorazDflU=DflV,toU=V.
Dowód.Zpoprzedniegolematuwynika,że
clU=cl(UflD)=cl(VflD)=clVj
awięcU=IntclU=IntclV=V.
⇤
punkt,tootrzymamyzbiórgęstywX.Mamywięcnastępującąnierówność
d(X)Śfiw(X).
(1.22)
Wprzestrzeniantydyskretnejkażdyzbiórjednopunktowyjestgęsty.Bę-
dziemyzwyklerozważaćnieskończoneprzestrzenieHausdorIa.Wtakichprze-
strzeniachkażdyzbiórgęstyjestnieskończony,awięcwnieskończonychprze-
strzeniachHausdorIagęstośćjestliczbąkardynalnąnieskończoną.Zauważ-
my,żezbiórgęstymusizawieraćwszystkiepunktyizolowane.Przypomnijmy,
minimalnąmocbazylokalnejwpunkciex.Kresgórnytychliczbnazywamy
charakteremprzestrzeniioznaczamysymbolem
‰(X)=sup{‰(xjX):xEX}.
Zauważmy,żeprzestrzeniemetryzowalnemającharakterprzeliczalny.Odtej
poryzakładamy,żeliczbykardynalnezwiązanezprzestrzeniamitopologicz-
nymisąnieskończone.
Twierdzenie1.4.5.JeśliXjestprzestrzeni!Hausdorfia,to
|X|Śmin{22
d(X)
jd(X)‰(X)}.
