Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
5o
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Przypuśćmy,żec(XXX)<d(X).Zdefinicjitopologiiwzbiorzelinio-
wouporządkowanym(p.przykład1.1.4)wynika,żerodzinaDzłożonaze
wszystkichpunktówizolowanychorazprzedziałówniejednopunktowychpo-
staci(ajb),przyczymajbEX,stanowifi-bazęwprzestrzeniX.Rodzina
{UXV:UjVED}jestzatemfi-baząwXXX.Topologiaporządkowana
zbiorzeliniowouporządkowanymmawłasnośćHausdorIa(p.lemat1.2.12),
awięcnamocylematu1.5.9zbiórH=(XXX)\∆XjestotwartywXXX.
Namocytwierdzenia1.4.9istniejetakarodzinaR™{UXV:UjVED}
zbiorówparamirozłącznych,żetR™H™cltR.Rozważmyzbiór
D=€{{ajbjcjd}™X:(ajb)X(cjd)ERorazmin{|(ajb)|j|(cjd)|>1}}.
Ponieważ|R|Śc(XXX)<d(X),to|D|<d(X).Każdyzbiórgęstyzawiera
wszystkiepunktyizolowane.Znierównościc(XXX)<d(X)wynikawięc,
żezbiórpunktówizolowanychwXniejestgęsty.Stądwynika,żeistnieje
przedziałniejednopunktowy(xjg)™X,dlaktóregoDfl(xjg)=ÿ.Wówczas
zbiórotwarty(xjg)X(xjg)niemożebyćzawartyw∆X,awięcistniejetaki
zbiór(ajb)X(cjd)ER,że((ajb)X(cjd))fl((xjg)X(xjg))”=ÿ.Stądwynika,
że(xjg)przecina(ajb)oraz(cjd).Ponieważjednak{ajbjcjd}fl(xjg)=ÿ,to
(xjg)™(ajb)fl(cjd).Toprowadzidosprzeczności,bo((xjg)X(xjg))fl∆X”=ÿ,
atRfl∆X=ÿ.Otrzymanasprzecznośćkończydowód.
⇤
JeśliXjestprostąSuslina(patrzstr.527),toc(X)=Ê,ad(X)=Ê1.
ZtwierdzeniaSimonawynikawięc,żejeśliXjestprostąSuslina,toXXX
niemawłasnościSuslina,awięcc(XXX)>c(X).Jakopierwszywykazałto
Kurepa[306].IstnienieprostejSuslinawymagadodatkowychzałożeń,takich
jaknaprzykładaksjomatJensena;patrzstr.539.Jednakbezdodatkowych
założeńdotyczącychaksjomatówteoriimnogościTodorćević[487]wykazał,że
istniejetakaprzestrzeńzwartaX,żec(XXX)>c(X).
Przedstawimyterazkonstrukcjętopologicznąwykorzystującąiloczynkar-
tezjańskiioperacjęilorazowania.Jesttozapowiedzianawcześniejdługalinia.
Przyk≥ad1.5.14(długalinia).RozważmyzbiórÊ1ztopologiąporząd-
kową,anastępniewiloczyniekartezjańskim[0j1]XÊ1weźmyrelacjęrówno-
ważności©,przyjmując,że(xj–)©(gj—),gdyzachodzijedenztrzechprzy-
padków:(1)(xj–)=(gj—)lub(2)(xj–)”=(gj—),aponadto—=–+1oraz
x=1ig=0jlub(3)–=—jestliczbąporządkowągraniczną.Przestrzeńilo-
razowąL=([0j1]XÊ1)/©nazywamydługąlinią33.Klasyabstrakcjiwzglę-
demrelacji©punktówwewnętrznychzbiorówIo=[0j1]X{–}sąjednopunk-
towe.Teklasyabstrakcji,któreniesąjednoelementowe,mająpostaćIoX{–},
jeśli–jestliczbąporządkowągraniczną,lubsąpostaci{(1j–)j(0j–+1)}.Stąd
wynika,żefunkcjailorazowasklejaodcinkiIooindeksie–będącymliczbą
porządkowągranicznąisklejakoniecodcinkaIozpoczątkiemodcinkaIo+1.
Tosprawia,żedługaliniajestspójna.MożnateżnaprzestrzeńLspojrzeć
33Nazywanajestteżdługimpromieniem(p.Engelking[153]).Wliteraturzeangloję-
zycznejznanajakolongline.