Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
48
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
azatemciągłośćfunkcjihwynikazciągłościfunkcjif.Natomiastciągłość
funkcjiodwrotnejwynikazciągłościrzutowań(p.lemat1.5.5)orazstąd,że
jestonarównaobcięciurzutowaniaprXdozbioruh[X].Tokończydowód.⇤
Zpojęciemiloczynukartezjańskiegozwiązanejesttakżepojęcieprzekąt-
nej.DlakażdejprzestrzenitopologicznejXprzyjmujemy,że
∆X={(xjg)EXXX:x=g}.
ZbiórtennazywamyprzekątnąiloczynukartezjańskiegoXXX.Odnotujmy
następującyprostyfakt.
Lemat1.5.9.Zbiór∆XjestdomkniętywXXXwtedyitylkowtedy,gdy
Xjestprzestrzeni!Hausdorfia.
Dowód.Załóżmy,żezbiór∆Xjestdomknięty.JeślixjgEXix”=g,to
(xjg)/
E∆X,awięcistniejetakieotoczenieUXVpunktu(xjg),dlaktórego
(UXV)fl∆X=ÿ.WtedyUiVsąotoczeniamirozłącznymipunktówxig.
Implikacjaodwrotnawynikaztego,że∆Xjestwykresemfunkcjiiden-
tycznościowej,czylifunkcjiciągłej,orazzlematu1.5.8.
⇤
Dalszewłasnościiloczynukartezjańskiegoopiszemywkolejnychlematach.
Lemat1.5.10.JeśliA™XorazB™Y,to
clAXclB=cl(AXB).
Wszczególnościiloczynkartezjańskizbiorówdomkniętychjestdomknięty.
Dowód.Zdefinicjitopologiiwynika,żejeśliUxorazUysąotoczeniami
punktówxig,tozbiórUxXUyjestotoczeniempunktu(xjg)EXXY.
Ponadtomamyrówność
(UxXUy)fl(AXB)=(UxflA)X(UyflB).
Stądwynika,żeotoczenieUxXUypunktu(xjg)przecinazbiórAXBwtedy,
gdyotoczenieUxprzecinaA,aotoczenieUyprzecinaB.Tokończydowód.⇤
BazęwiloczyniekartezjańskimtworzązbiorypostaciUXV,gdzieUiV
należądodowolnejbazy.Stądwynikanastępującywniosek.
Lemat1.5.11.Iloczynkartezjańskiprzestrzenizerowymiarowychjestprze-
strzeni!zerowymiarow!.
Zlematu1.5.10wynikateżnastępującywniosekdotyczącygęstościilo-
czynukartezjańskiego
d(XXY)=max{d(X)jd(Y)}.
(1.25)
Wszczególności,iloczynkartezjańskiprzestrzeniośrodkowychjestprzestrze-
niąośrodkową.Faktycznie,jeślizbiórAjestgęstywX,aBjestgęstywY,
tozlematu1.5.10dostajemyXXY=clAXclB=cl(AXB).Ponadto,jak
wiemy|AXB|=max{|A|j|B|};p.wniosek6.3.9.