Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
5.ILOCZYNKARTEZJAŃSKIPRZESTRZENITOPOLOGICZNYCH
49
Iloczynkartezjańskizachowujewieleważnychwłasnościtopologicznych.
Zewzoru(1.24)wynikawszczególności,żeiloczynkartezjańskiprzestrzeni
zbaząprzeliczalnąmabazęprzeliczalną.Pokażemypóźniej,żetosamodo-
tyczymetryzowalności;p.wniosek2.1.9.Istniejąjednakwłasnościtopologicz-
ne,którychiloczynkartezjańskiniezachowuje.Kolejnyprzykładpokazuje,
żejednąznichjestwłasnośćFrécheta–Urysohna.PrzestrzeńXmawłasność
Frécheta–Urysohna,gdydlakażdegoA™X,jeślixEclAtoistniejetakiciąg
(xn)
Œ
n11™A,żelim
næŒ
xn=x;patrzstr.29.Okazujesię,żeiloczynkartezjański
przestrzenizwłasnościąFrécheta–Urysohnaniemusimiećtejwłasności.
Przyk≥ad1.5.12.NiechXbędzieprzestrzeniązprzykładu1.2.36,awięc
X=(NXN)fi{xo},przyczymxo/
ENXN.PunktyzbioruNXNsąizolowane,
aotoczeniabazowepunktu{xo}sąpostaci
Uf={xo}fi{(njk)ENXN:nENorazk>f(n)}j
przyczymfENN.PrzestrzeńYwyglądapodobnie:Y=(NXN)fi{go},przy
czymgo/
ENXN.TakjakwprzestrzeniX,punktyzbioruNXNsąizolowane,
aotoczeniamibazowymipunktugosązbiory
Vn={go}fi€{{k}XN:k≥n}j
przyczymnEN.PrzestrzeńYmabazęprzeliczalnąwkażdympunkcie,a
zatemzgodniezlematem1.2.35jestprzestrzeniąFrécheta–Urysohna.Jakpo-
kazaliśmywprzykładzie1.2.36takżeXjestprzestrzeniąFrécheta–Urysohna.
Abypokazać,żeXXYniejestprzestrzeniąFrécheta–Urysohnarozważmy
zbiórA={(pjp):pENXN}™XXY.Wszystkieotoczeniapunktuxoi
wszystkieotoczeniapunktugoprzecinajązbiórNXN,awięc(xojgo)EclA.
Przypuśćmy,żeciąg(pnjpn)Œ
n11™Ajestzbieżnydopunktu(xojgo)EXXY.
Zdefinicjitopologiiwiloczyniekartezjańskimwynika,żeciąg(pn)Œ
n11™NXN
jestwsensietopologiiprzestrzeniXzbieżnydoxo,awsensietopologiiprze-
strzeniYdogo.Oznaczmypn=(knjln),przyczymknjlnENdlakażdego
nEN.Wówczasnamocywarunku(ú)zprzykładu1.2.36istniejetakienoEN,
żezbiórN={nEN:kn=no}jestnieskończony.Alewtedypunktypndla
nENnienależądozbioruVn
0+1.Todajesprzeczność,bokażdeotocze-
niepunktugomusizawieraćprawiewszystkiepunktyciągu(pn)Œ
n11,azatem
XXYniejestprzestrzeniąFrécheta–Urysohna.
˚
Istniejąteżinneprzykładywskazującenato,żeniektórewłasnościtopolo-
giczneniezachowująsięprzyoperacjiiloczynukartezjańskiego.Dla(nieskoń-
czonych)przestrzeniliniowouporządkowanychSimon[444]udowodniłnastę-
pującetwierdzenie.
Twierdzenie1.5.13.JeśliXjestprzestrzeni!liniowouporz!dkowan!,to
c(XXX)=d(X).
Dowód.Zwarunku(1.23)wynika,żec(XXX)Śd(XXX),azwarun-
ku(1.25),żed(XXX)=d(X).Dostajemywięcc(XXX)Śd(X).