Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
46
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
bazywprzestrzeniXXY.Ponieważ(VXY)fl(XXW)=VXW,torodzina
D={VXY:VETX}fi{XXW:WETY}
jestpodbazątopologiiwprzestrzeniXXY.
Iloczynkartezjańskiskończeniewieluprzestrzenidefiniujemywzorem
X1X...XXnXXn+1=(X1X...XXn)XXn+1.
JeśliXi=XdlakażdegoiŚn,tozamiastX1X...XXnpiszemykrótko
Xn.Przestrzeńtakąnazywamyn-tąpotęgąprzestrzeniX.Oprócziloczynu
kartezjańskiegoprzestrzenirozważamyteżiloczynkartezjańskifunkcji.
Lemat1.5.2.Jeślif1:X1æY1orazf2:X2æY2s!funkcjamici!głymi,
tofunkcjaf1Xf2:X1XX2æY1XY2danawzorem
(f1Xf2)(x1jx2)=(f1(x1)jf2(x2))
jestci!gła.
Dowód.DladowolnychzbiorówU™Y1iV™Y2zachodzirówność
(f1Xf2)
11[UXV]={(x1jx2)EX1XX2:(f1Xf2)(x1jx2)EUXV}=
={(x1jx2)EX1XX2:(f1(x1)jf2(x2))EUXV}=
={(x1jx2)EX1XX2:f1(x1)EUorazf2(x2)EV}=f
1
11
[U]Xf11
2
[V]j
azatemciągłośćfunkcjif1Xf2wynikawprostzpostacibazytopologiiwilo-
czyniekartezjańskim.
⇤
Jeślidanesądwaróżnepunkty(xojgo)j(x1jg1)EXXY,toxo”=x1lub
go”=g1.JeśliXjestprzestrzeniąHausdorIaorazxo”=x1,toistniejątakie
zbioryotwarterozłączneUojU1™X,żexoEUoorazx1EU1.Wówczas
zbioryUoXYorazU1XYsąotoczeniamirozłącznymiodpowiedniopunktów
(xojgo)i(x1jg1).Podobnie,jeśliYjestprzestrzeniąHausdorIaorazgo”=g1,
toistniejątakiezbioryotwarterozłączneVojV1™Y,żegoEVoorazg1EV1.
WówczaszbioryXXVoiXXV1sąotoczeniamirozłącznymiodpowiednio
punktów(xojgo)i(x1jg1).Dostajemywięcnastępującylemat.
Lemat1.5.3.IloczynkartezjańskiprzestrzeniHausdorfiajestprzestrzeni!
Hausdorfia.
Ziloczynemkartezjańskimzwiązanesąściśledwieważnefunkcjezwane
rzutowaniami.
Definicja1.5.4(rzutowanie).RzutowaniamiprzestrzeniXXYnazy-
wanes!funkcjeprX:XXYæXiprY:XXYæYdanewzorami
prX(xjg)=xorazprY(xjg)=g.
Lemat1.5.5.Rzutowaniaziloczynukartezjańskiegos!ci!głe.
32Przypomnijmy,żewprzypadkuliczbkardynalnychzwiązanychztopologią,czylitzw.
niezmiennikówkardynalnych,zakładamy,żesąonenieskończone.
