Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
44
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Zauważmy,żerodzina{Vn:nEN}składasięzezbiorówparamiroz-
łącznych.Faktycznie,jeślin<k,toVk™Un,aVnflUn=ÿ.Otrzymana
sprzecznośćkończydowód.
⇤
Jeślizkażdegoelementurodzinyzbiorówotwartychniepustychparami
rozłącznychwybierzemypunkt,tootrzymamyzbiór,któryrozważanyztopo-
jącywniosek.
Wniosek1.4.10.KażdanieskończonaprzestrzeńHausdorfiazawierapod-
przestrzeńnieskończon!dyskretn!.
Będziemyrozważaćjedynieprzypadki,gdyliczbaSuslinajestnieskoń-
następującenierówności
c(X)Śd(X)Śfiw(X)Św(X).
(1.23)
Pierwszanierównośćwynikaztego,żejeśliRjestrodzinązbiorówniepustych
otwartychwX,paramirozłącznych,aD™Xjestzbioremgęstym,tokażdy
elementrodzinyRzawierapewienelementzbioruD,przyczymróżnezbiory
zawierająróżneelementyzbioruD,azatem|R|Ś|D|.Druganierównośćwy-
nikaztego,żejeślizkażdegoelementufi-bazywybierzemypojednympunk-
przeliczalna,bozbiórliczbwymiernychjestgęstywtejprzestrzeni.Funkcje
ciągłezachowująliczbęSuslina.Mamybowiemnastępującylemat.
Lemat1.4.11.Jeślif:XæYjestci!gł!surjekcj!,toc(Y)Śc(X).
Dowódjestoczywisty.JeśliDjestrodzinązbiorówparamirozłącznych
otwartychwY,to{f11[U]:UED}jestrodzinązbiorówparamirozłącznych
otwartychwX.Przeciwieństwemzbiorówgęstychsązbiorybrzegowe.
Definicja1.4.12(zbiórbrzegowy).ZbiórA™Xnazywamybrzego-
wym,jeśliIntA=ÿjtzn.gdyAniezawierażadnegozbioruotwartegoniepu-
stego.
byćzbiorembrzegowym.Faktycznie,jeślizbioryAiX\Asąbrzegowe,to
Lemat1.4.13.Zbiórjestbrzegowywtedyitylkowtedy,gdyjegodopełnie-
niejestzbioremgęstym.
DowódlematuwynikabezpośredniozrównościIntA=X\cl(X\A);
Lemat1.4.14.ZbiórA™Xjestzarazembrzegowyidomkniętywtedy
itylkowtedy,gdyBdA=A.