Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Dowód.Abywykazać,żeT(Xjd)jesttopologią,wystarczywykazać,że
jeśliUjVET(Xjd),toUflVET(Xjd).Pozostałedwawarunkisąspełnione
woczywistysposób.Faktycznie,jeślixEUflV,toistnieją51>0oraz52>0
takie,żeBd(xj51)™UorazBd(xj52)™V.Wówczasdla5=min{51j52}
mamyBd(xj5)™UflV.Pozostajewykazać,żeBd(xj5)sązbioramiotwartymi
wtopologiiT(Xjd).UstalmydowolnegEBd(xj5).Wtedy÷=5≠d(xjg)>0j
awięcdlakażdegozEBd(gj÷)dostajemy
d(xjz)Śd(xjg)+d(gjz)<d(xjg)+÷=5j
azatemzEBd(xj5),czyliBd(gj÷)™Bd(xj5).
⇤
Definicja1.2.4(topologiametryzowalna).TopologiaTnazbiorzeXjest
metryzowalna,gdyistniejetakametrykadnaX,żeT(Xjd)=T.
TopologianaturalnanaprostejRjestmetryzowalnazapomocąmetryki
Bd(xj5)={gER:|x≠g|<5}=(x≠5jx+5)j
awięcbazatopologiiporządkowejwRjesttakasamajakbazawyznaczona
tryzowalna,bowmetrycedyskretnejwszystkiekuleotwarteopromieniach
strzeńzjednympunktemskupienianiejestmetryzowalna,oilejestnieprze-
liczalna.Najpierwwprowadzimydodatkowepojęciezwiązanezbazą.
Definicja1.2.5(bazalokalna).Jeśli(XjT)jestprzestrzeni!topologicz-
n!,toB(x)™Tnazywamybaząlokalnąlubbaząotoczeńwpunkcie
x,jeślidlakażdegozbioruotwartegoUETzawieraj!cegoxistniejetakie
VEB(x),żexEV™U.Zbiórotwartyzawieraj!cydanypunktnazywamy
otoczeniemtegopunktu.Minimaln!mocbazylokalnejwpunkciexEX
‰(Xjx)=min{|B(x)|:B(x)jestbaz!lokaln!wpunkciexEX}.
SumabazlokalnychwszystkichpunktówprzestrzeniXjestbaząprze-
strzeniX.PonadtodlakażdegoxEXmamy
‰(Xjx)Św(X)j
(1.8)
przyczym,wniektórychprzestrzeniach(np.dyskretnych)nierównośćmoże
byćostra.
Lemat1.2.6.Przestrzeniemetryzowalnemaj!charakterprzeliczalnywkaż-
dympunkcie.
15Oprzestrzeni,którawkażdympunkciemabazęlokalnąprzeliczalną,mówisię,że
