Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Definicja1.1.18(fi-baza).RodzinęDniepustychpodzbiorówotwartych
przestrzeniXnazywamyfi-bazą,jeślidlakażdegozbioruotwartegoniepuste-
goU™XistniejetakieVED,żeV™U.Najmniejsz!liczb!kardynaln!,
którajestmoc!pewnejfi-bazyprzestrzeniX,nazywamyfi-wagąprzestrzeni
Xorazoznaczamysymbolemfiw(X).
Każdabazajestfi–bazą,azatemmamynierówność
fiw(X)Św(X).
Równośćnaogółniezachodzi,oczymświadczynastępującyprzykład.
(1.6)
Przyk≥ad1.1.19(przestrzeńAleksandrowa–Urysohna).Wiloczyniekar-
tezjańskimRX{0j1}rozważmyporządekleksykograficznydanywzorem
(xji)ª(gjj)wtedyitylkowtedygdy,x<glubx=gorazi<j.
MamywtedywzbiorzeRX{0j1}topologięporządkowąT(RX{0j1}jª)
znanąteżjakopodwójnastrzałka.WpodprzestrzeniRX{1}™RX{0j1},
nazywanejteżstrzałką,mamytopologięT(RX{0j1}jª)rRX{1}.Topologia
tajestidentycznaztopologiąprzestrzeniSorgenfreyaSopisanąwprzykładzie
podprzestrzeniąprzestrzeniliniowouporządkowanej.Pokażemypóźniej,że
xjgERorazx<g,to
∆x,y={(zji)ERX{0j1}:(xj0)ª(zji)ª(gj0)}
jestprzedziałemotwartymoraz∆x,y=(xjg)X{0}fi[xjg)X{1}.Zbiory
∆x,yflS=[xjg)X{1}sązatemotwartewprzestrzeniSorgenfreyaistanowią
wniejbazę.Nietrudnozauważyć,żesątozbiorydomknięto-otwarte,awięc
przestrzeńSorgenfreyajestzerowymiarowa.Zauważmy,że
fiw(S)=Êorazw(S)=2Ê.
Faktycznie,wszystkiezbiorypostaci∆a,bflS,dlaajbEQtworząfi–bazę,bo
pomiędzykażdymidwomaliczbamirzeczywistymijestliczbawymierna.Jed-
żeB™{∆x,yflS:xjgER}.Przypuśćmy,że|B|<2Ê.Wtedyistniejetakie
zER,któreniejestlewymkońcemżadnegoelementuzB.Wówczaszbiór
otwarty∆z,z+1niemożebyćsumąelementówrodzinyB.Todajesprzeczność.
Wynikastądwszczególności,żewagaprzestrzeniRX{0j1}zporządkiem
leksykograficznymtakżejestrówna2Ê.
˚
Wkażdejprzestrzenitopologicznejsąprzynajmniejdwazbiorydomknięto-
otwarte:zbiórpustyicałaprzestrzeń.Przestrzeniomspójnym,czylitakim,
wktórychsątojedynezbiorydomknięto-otwartejestpoświęconyrozdział5.
Definicja1.1.20(przestrzeńspójna).Niepustaprzestrzeńtopologiczna
Xjestspójna,gdyniemawniejzbiorówdomknięto-otwartychinnychniżÿ
iX.Mówimy,żezbiórjestspójny,gdyjestpodprzestrzeni!spójn!.
