Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Rozwójmatematyki,aszczególnieanalizymatematycznej,wXIXwie-
kuspowodowałpotrzebędoprecyzowaniapewnychpojęć(takichjakciągłość,
zbieżność,dowolnieblisko,nieskończeniemałe,liczbyniewymierne)opartych
wcześniejnaintuicjachgeometrycznychorazfizycznych.Todoprowadziłodo
koniecznościstworzenianowychpodstawmatematyki,którymiokazałysię
topologiaiteoriamnogości.Przyjmujesię,żepierwszawpełniprecyzyjna
iogólnadefinicjatopologiizostałasformułowanawksiążceGrundzügeder
nyprzezListinga,uczniaGaussa,jużw1847r.Badaczehistoriimatematyki
odnajdująjednakpoczątkitopologiiwpismachEuleraorazGaussa,anawet
Definicja1.1.1(topologia).JeśliXjestzbioremniepustym,torodzinę
T™D(X)nazywamytopologiąnaX,gdyspełniones!następuj!cewarunki:
(a)XET;
(b)jeśliUjVET,toUflVET;
(c)jeśliR™T,totRET.
Parę(XjT)nazywamywówczasprzestrzeniątopologiczną.
Mniejformalnie,przestrzeńtopologicznajesttozbiórwrazzpewnątopo-
logią,którajestnanimokreślona.Namocyzasadyindukcjimatematycznej
warunek(b)możnauogólnićnadowolnąskończonąliczbęelementówrodziny
T.Zauważmy,żedokażdejtopologiinazbiorzeXopróczzbioruXnależy
takżezbiórpusty,bojeśliwwarunku(c)przyjmiemyR=ÿ,tootrzymamy
ÿ=tRET.Nadanymzbiorzeistniejezwyklewieletopologii.Jeślitopolo-
giaTwprzestrzeni(XjT)jestustalona,tozamiast„przestrzeńtopologicz-
na(XjT)”piszemykrótko„przestrzeńX”
.ElementytopologiiTnazywamy
zbioramiotwartymi(wdanejtopologii),aichdopełnieniazbioramido-
mkniętymi.ZbiórXjestzatemotwarty,przecięcieskończeniewieluzbiorów
otwartychjestzbioremotwartymisumadowolniewieluzbiorówotwartych
takżejestzbioremotwartym.Podobnieÿjestzbioremdomkniętym,suma
skończeniewieluzbiorówdomkniętychjestzbioremdomkniętymiprzecięcie
dowolnejrodzinyzbiorówdomkniętychtakżejestzbioremdomkniętym.
Zbiór,któryjestzarazemdomkniętyiotwarty,nazywamydomknięto-
otwartym.ZbioryÿiXsądomknięto-otwartewkażdejtopologiinaX.Niech
CO(X)oznaczarodzinęwszystkichzbiorówdomknięto-otwartychwprzestrze-
niX.RodzinaCO(X)jestciałemzbiorów,czylijestzamkniętazewzględu
1WliteraturzepolskiejohistoriimatematykimożnaprzeczytaćwksiążceJuszkiewi-
2Ciałazbiorów,oprócztopologii,występująteżwinnychdziałachmatematyki,takich
jakteoriamnogości,teoriamiaryikombinatoryka.Przypomnijmy,żerodzinaR™P(X)
