Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
(2)wprzestrzeniYistniejetakapodbazaD,żezbiórf11[U]jestotwarty
dlakażdegoUED;
(3)dlakażdegoxEXikażdegootoczeniaVpunktuf(x)istniejetakie
otoczenieUpunktux,żef[U]™V;
(4)dlakażdegoA™Xzachodzif[clA]™clf[A];
(5)dlakażdegoB™Yzachodziclf11[B]™f11[clB];
(6)dlakażdegoB™Yzachodzif11[IntB]™Intf11[B];
(7)przeciwobrazkażdegozbiorudomkniętegowYjestdomkniętywX.
Dowód.Implikacja(1)∆(2)jestoczywista,borodzinawszystkichzbio-
rówotwartychjesttakżepodbazą.Abywykazaćimplikację(2)∆(3)ustal-
mypodbazęD,dlaktórejspełnionyjestwarunek(2).Wówczasdlakaż-
degootoczeniaVpunktuf(x)istniejątakiezbioryV1jV2j...jVnED,że
f(x)EV1flV2fl...flVn™V.WtedyU=f11[V1]flf11[V2]fl...flf11[Vn]
jestzbioremotwartymzawierającympunktxoraz
f[U]=f[f11[V1]flf11[V2]fl...flf11[Vn]]=f[f11[V1flV2fl...flVn]]™V.
Dladowoduimplikacji(3)∆(4)ustalmyzbiórAitakipunktx,że
f(x)/
Eclf[A].WówczasVflf[A]=ÿdlapewnegootoczeniaVpunktuf(x).
Namocywarunku(3)istniejetakieotoczenieUpunktux,żef[U]™V.Skoro
Vflf[A]=ÿ,toUflA=ÿ,awięcx/
EclA.
Implikacja(4)∆(5)wynikaztego,żejeślif[clA]™clf[A]dlakażdego
A™X,to
f[clf11[B]]™clf[f11[B]]™clBj
awięcclf11[B]™f11[clB].Wdowodzieimplikacji(5)∆(6)zastosujemy
f
11[IntB]=f11[Y\cl(Y\B)]=X\f11[cl(Y\B)]™
™X\clf11[Y\B]=X\cl(X\f11[B])=Intf11[B].
clf11[B]=X\Int(X\f11[B])=X\Intf11[Y\B]™
™X\f11[Int(Y\B)]=f11[Y\Int(Y\B)]=f11[clB].
JeśliB™Yjestzbioremdomkniętym,tonamocywarunku(5)mamy
clf11[B]™f11[clB]=f11[B],awięcf11[B]jestzbioremdomkniętym.
Warunek(5)implikujezatemwarunek(7).Oczywiściewarunek(7)pociąga
warunek(1),bodlakażdegozbioruUmamyf11[Y\U]=X\f11[U].Mając
kompletimplikacji,możemyuznać,żetwierdzeniezostałoudowodnione.
⇤
głościwpunkcie.
Definicja1.3.3(ciągłośćwpunkcie).Funkcjaf:XæYjestciągła
wpunkciexEX,gdydlakażdegootoczeniaVpunktuf(x)istniejetakie
