Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3o
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
zbioremnieskończonym,któregopunktemskupieniajestxo.Ponieważpunkty
należącedoNXNsąizolowane,toAniemożemiećinnychpunktówskupienia.
Wówczas
istniejetakienoEN,żezbiór({no}XN)flAjestnieskończony.
Wprzeciwnymprzypadkudlafunkcjidanejwzorem
f(n)=max{kEN:(njk)EA}+1
(ú)
dostajemyUfflA=ÿ,codajesprzeczność.Zwarunku(ú)wynika,żejeśli
przyjmiemya1=(nojmin{kEN:(nojk)EA})oraz
an=(nojmin{kEN:(nojk)EA\{a1j...jan11}})
dlan>1,todostajemylim
næŒ
an=xo.Stądwynika,żeXjestprzestrzenią
Frécheta–Urysohna.
Zauważmy,żewpunkciexonieistniejebazaprzeliczalna.Faktycznie,dla
każdejrodziny{Vn:nEN}otoczeńpunktuxoistniejetakarodzinafunkcji
{fn:nEN}™NN,żeUf
n
™VndlakażdegonEN.Zdefiniujmyfunkcję
f:NæNnastępującymwzorem:f(n)=max{fk(n):kŚn}+1.Wówczas
dlakażdegonENdostajemyVn*Uf.Wprzeciwnymprzypadkudlapewnego
nENdostajemyUf
n™Uf,awięcwszczególności(njfn(n))EUf,codaje
sprzeczność,bozgodniezdefinicjąfunkcjifmamyf(n)>fn(n).Stądwynika,
˚
Przypomnijmyfaktdobrzeznanyzelementarnegowykładuanalizymate-
matycznej.WprzestrzeniRliczbrzeczywistychciąg(xn)Œ
n11jestzbieżnydo
liczbygERwtedyitylkowtedy,gdyspełniawarunek
(V5>0)(÷noEN)(Vn>no)(|xn≠g|<5).
(1.17)
Nierówność|xn≠g|<5zachodziwtedyitylkowtedy,gdyxnE(g≠5jg+5).
(wsensiemetrykinaturalnej)opromieniu5zawieraodpewnegomiejscapo-
cząwszywszystkiewyrazyciągu(xn)Œ
n11.Stądwynikanastępującacharakte-
ryzacjazbieżnościciąguwprzestrzenimetrycznej.
Lemat1.2.37.Jeśli(Xjd)jestprzestrzeni!metryczn!,todlakażdego
ci!gu(xn)Œ
n11™XorazpunktuxoEXzachodzinastępuj!carównoważność
næŒ
lim
xn=xo≈∆lim
næŒ
d(xnjxo)=0.
Dowód.Rodzina{Bd(xojn11):nEN}jestbaząlokalnąwpunkciexo.
DlakażdegoxEXmamyponadto:xEBd(xojn11)wtedyitylkowtedy,gdy
d(xojx)<n11.Towystarczy,byudowodnićlemat,bolim
næŒ
n11=0.
⇤
25Możnapokazać,że‰(Xjx
0)=b,przyczymliczbabjestnajmniejsząmocąrodziny
F™NNnieograniczonejwsensierelacjiŚú.JeślifjgœNN,tofŚúg,gdyf(n)Śg(n)
