Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.METRYKA,WNĘTRZEIDOMKNIĘCIEZBIORU
29
zbioremB.Podobnie,jeśliBEF,toU=Bfi{F}jestotoczeniempunktuF
rozłącznymzezbioremA,azatem(xn)Œ
n11niemożebyćzbieżnydoF.
˚
Lemat1.2.33.Załóżmy,żeXjestprzestrzeni!topologiczn!,wktórejdla
punktuxEXzachodzirówność‰(Xjx)=Ê.JeśliA™X,toxEAd
wtedyitylkowtedy,gdyistniejetakici!g(xn)Œ
n11™A\{x},żelim
næŒ
xn=x.
PonadtoxEclAwtedyitylkowtedy,gdyistniejetakici!g(xn)Œ
n11™A,że
næŒ
lim
xn=x.
istniejetakarodzina{Un:nEN}otoczeńpuntux,żedlakażdegozbioru
otwartegoU™XzawierającegoxistniejetakienEN,żexEUn™U.Jeśli
xEAd,to(A\{x})flU”=ÿdlakażdegootoczeniaUpunktux.Wybierzmy
xnE(A\{x})flU1fl...flUndlanEN.Wówczaskażdeotoczeniepunktuxza-
wieraprawiewszystkiewyrazyciągu(xn)Œ
n11™A\{x},awięclim
næŒ
xn=x.
Implikacjaodwrotnajestoczywista.Drugaczęśćlematuwynikaztego,że
ciągistałesązbieżne,akażdypunktdomknięciazbioru,któryniejestjego
elementem,musibyćjegopunktemskupienia.
⇤
Definicja1.2.34(przestrzeńFrécheta–Urysohna).Przestrzeńtopologicz-
naXjestprzestrzeniąFrécheta–Urysohna,jeślidlakażdegozbioruA™
XikażdegopunktuxEclAistniejetakici!g(xn)Œ
n11™A,żelim
næŒ
xn=x.
Ciągistałesązbieżne,azatemwpowyższejdefinicjiistotnesąpunktysku-
Urysohna,bowtymprzykładziepunktFleżywdomknięciuzbioruN,ale
Lemat1.2.35.JeśliwkażdympunkcieprzestrzeniXcharakterjestprze-
liczalny,toXjestprzestrzeni!Frécheta–Urysohna.
IstniejąprzestrzenieFrécheta–Urysohna,któreniewkażdympunkciemają
bazęprzeliczalną.
Przyk≥ad1.2.36.NiechX=(NXN)fi{xo},przyczymxo/
ENXN.Dla
każdejfunkcjifENNprzyjmijmy
Uf={xo}fi{(njk)ENXN:nENorazk≥f(n)}.
RozważmywzbiorzeXtopologię,wktórejpunktyzbioruNXNsąizolowane,
abazaotoczeńpunktuxojestpostaci{Uf:fENN}.Załóżmy,żeA™Xjest
sięteżdopewnejklasyprzestrzeniliniowotopologicznych.NatematprzestrzeniFrécheta–
wktórychtopologięmożnaopisaćzapomocąciągówzbieżnychiopokrewnychpojęciach,
