Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.METRYKA,WNĘTRZEIDOMKNIĘCIEZBIORU
27
Punktxnależyzatemdobrzeguzbioruwtedyitylkowtedy,gdykażde
mamyclA=X\Int(X\A)orazcl(X\A)=X\IntA,tonamocyprawa
deMorganadostajemyX\BdA=(X\clA)fi(X\cl(X\A)),awięc
BdAfiIntAfiInt(X\A)=X.
BdA=clA\IntA.
(1.14)
(1.15)
takisamjakbrzegjegodopełnieniaorazże
clA=AfiBdA.
(1.16)
Faktycznie,jeślixEclAix/
EA,toxEclAfl(X\A)™clAflcl(X\A)=BdA.
Inkluzjaodwrotnajestoczywista,boA™clAorazBdA™clA.
Lemat1.2.27.ZbiórU™Xjestdomknięto-otwartywXwtedyitylko
wtedy,gdyBdU=ÿ.
mamyU™clU™X\cl(X\U)=IntU™U,awięcU=clU=IntU.Zbiór
Ujestzatemdomknięto-otwarty.Implikacjaodwrotnajestoczywista.
⇤
któryniejestizolowany.Relatywizująctopojęciedopodprzestrzeniikorzy-
Definicja1.2.28(pochodnazbioru).PunktxEXnazywamypunktem
skupieniazbioruA,jeśliUfl(A\{x})”=ÿdlakażdegootoczeniaU™X
punktux,tzn.gdyxEcl(A\{x}).Zbiórwszystkichpunktówskupieniazbioru
któryniejestpunktemskupieniacałejprzestrzeni,nazywamyizolowanym.
Zdefinicjiwynika,żeprzestrzeńXjestwsobiegęsta,gdyXd=X,
aprzestrzeńXjestdyskretna,gdyXd=ÿ.
Lemat1.2.29.Operacjapochodnejmanastępuj!cewłasności:
(1)clA=AfiAd;
(2)jeśliA™B,toAd™Bd;
(3)(AfiB)d=AdfiBd.
więcbezdowodu.Wprzestrzeniachmetrycznychdomknięciezbioruipochod-
nązbiorumożnaopisaćzapomocągranicciągów.
21Tanazwamożebudzićbłędneskojarzeniezpochodnąfunkcji.Jednakangielskiede-
rivedsettrudnoinaczejprzetłumaczyćnajęzykpolski.