Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.FUNKCJECIĄGŁE,HOMEOMORFIZMY
33
otoczenieUpunktux,żef[U]™V.Zbiórpunktówciągłościfunkcjif
oznaczamysymbolemC(f).
Funkcjafjestciągławtedyitylkowtedy,gdyjestciągławkażdympunk-
ciezbioruX.Naprzykładfunkcja,którakażdejliczbiedodatniejprzyporząd-
kowuje1,każdejliczbieujemnej≠1,awzerzemawartość0,jestciągła
wkażdympunkcieopróczzera,aleniejestciągłajakofunkcjazRwR.
Zciągłościąwiążesiępojęcietopologiiilorazowej,czylitopologiiwzbiorze
klasabstrakcjiwzględemrelacjirównoważności.Jeśli©jestrelacjąrównoważ-
klasabstrakcji(klasrównoważności)względemrelacji©,czylizbiorówpostaci
[x]©={gEX:g©x},gdziexEX.Wtedyfunkcjęq©:XæX/©daną
wzorem
q©(x)=[x]©
nazywamyprojekcjąlubilorazowaniem.Zauważmy,żejeślif:XæY
jestfunkcją,aTjesttopologiąwX,torodzina{U™Y:f11[U]ET}jest
topologiąwY.
Definicja1.3.4(topologiailorazowa).Jeśli(XjT)jestprzestrzeni!to-
pologiczn!,a©jestrelacj!równoważnościnazbiorzeX,totopologiąilo-
razowąwprzestrzeniX/©nazywamytopologięzłożon!zewszystkichtych
zbiorówU™X/©,dlaktórychq11
©[U]jestzbioremotwartym.ZbiórX/©
wrazzt!topologi!nazywamyprzestrzeniąilorazową.
Wprostztejdefinicjiwynika,żeodwzorowanieilorazowejestciągłe.Topo-
logiailorazowajestwistocienajwiększątopologiąwzbiorzeklasabstrakcji,
przyktórejprojekcjajestciągła.Przestrzenieilorazowepojawiająsięwto-
pologiibardzoczęsto,szczególniewzagadnieniachgeometrycznychtopologii.
Zauważmy,żerodzinaR={[x]©:xEX}jestrozbiciemprzestrzeniX,czyli
takąrodzinąparamirozłącznychpodzbiorówzbioruX,którewsumiedają
X.KażderozbicieRokreślarelacjęrównoważnościwzorem
x©g≈∆(VAER)(xEA≈∆gEA).
PrzestrzeńilorazowąoznaczamywówczassymbolemX/R,związanąznią
projekcjęzapisujemyjakoqR:XæX/R.Wszczególnymprzypadku,gdy
wszystkieelementyrozbicia,opróczjednego,sąjednoelementowe,tzn.gdy
R={F}fi{{x}:xEX\F}dlapewnegoF™X,tozamiastX/Rpiszemy
X/F.Łatwozauważyć,żejeśliXjestprzestrzeniątypuT1,aFjestzbiorem
domkniętym,toprzestrzeńX/FjesttakżetypuT1.
Przyk≥ad1.3.5.Rozważmyprzestrzeń
X={(njx)ER2:nENorazxE[0j1]}™R2
