Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
PODSTAWYTEORIIAPROKSYMACJIWZADANIACH
dla
x
=(
x1jx2j▷▷▷
)
∈ℓ1
,gdzie
a
=(
a1ja2j▷▷▷
)
∈ℓ∞
jestdowolnymniezero-
wym,ustalonymwektorem.Dowieść,że
f
jestciągłymfunkcjonałemliniowym.
Udowodnić,że
V
=
kerf
jestzbioremproksyminalnymw
ℓ1
wtedyitylko
wtedy,gdyistnieje
k∈N
takie,że
|ak|
=
"a"∞
.Wykazaćponadto,żejeżeli
m
jestmocązbiorutakichindeksów
k>
1,że
|ak|
=
"a"∞
,todladowolnego
x∈ℓ1\V
wymiarafinicznyzbioru
PV
(
x
)jestrówny
m−
1(dopuszczamy
m=∞).
Zadanie5.11.Niechf:co→Kbędzieodwzorowaniemdanymjako
f(x)=
kl1
Σ
∞
akxkj
dla
x
=(
x1jx2j▷▷▷
)
∈co
,gdzie
a
=(
a1ja2j▷▷▷
)
∈ℓ1
jestdowolnymniezerowym,
ustalonymwektorem.Dowieść,żefjestciągłymfunkcjonałemliniowym.Wy-
znaczyćwarunekkoniecznyiwystarczającynato,żeby
V
=
kerf
byłozbiorem
proksyminalnymw
co
(wzależnościod
a∈ℓ1
).Rozstrzygnąć,czy
V
możebyć
zbioremCzebyszewa.
Zadanie5.12.Rozważmyprzestrzeńrzeczywistychfunkcjiciągłych
C
[0
j
1]
znormąsupremum.Niech
L
:
X→R
będziefunkcjonałemliniowymdanym
jako
L(f)=/
o
1
f(t)g(t)dtj
gdzie
g∈C
[0
j
1]jestustalonąfunkcją,któraposiadaconajwyżejskończoną
liczbęmiejsczerowych.Przyjmijmy
V
=
kerL
.Dowieść,żenastępującewarunki
sąrównoważne:
(a)ZbiórVjestproksyminalnywC[0j1].
(b)ZbiórVjestzbioremCzebyszewawC[0j1].
(c)
Dlakażdego
t∈
[0
j
1]zachodzi
g
(
t
)
>
0lubdlakażdego
t∈
[0
j
1]zachodzi
g(t)<0.
Zadanie5.13.Rozważmyprzestrzeńrzeczywistychfunkcjiciągłych
C
[0
j
1]
znormąsupremum.Niech
L
:
X→R
będziefunkcjonałemliniowymdanym
jako
L(f)=/
o
1
f(t)g(t)dtj
gdzie
g∈C
[0
j
1]jestfunkcją,któraspełniawarunek
g11
(0)=[
ajb
]dlapew-
nych0
<a<b<
1.Przyjmijmy
V
=
kerL
.Udowodnić,że
V
jestzbiorem
proksyminalnymw
C
[0
j
1]orazdladowolnejfunkcji
f∈C
[0
j
1]
\V
wymiar
afinicznyzbioruPV(f)jestnieskończony.
