Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
Aproksymacjawprzestrzeniachmetrycznych
Wtymrozdzialezajmiemysiębadaniempodstawowychwłasnościkluczowych
pojęćteoriiaproksymacji.Będziemytuzakładaćistnieniejedyniemetryki.
Przedstawionetuwłasnościodegrająważnerolewkolejnychrozdziałachidla-
tegowartojezapamiętać.Pojawiąsiętumiędzyinnyminastępującefakty:
ůFunkcjadistspełniawarunekLipschitzazestałą1(zadanie2.1).
ůKażdyzbiórproksyminalnyjestdomknięty(zadanie2.7).
ůKażdyzbiórzwartyjestproksyminalny(zadanie2.8).
ů
Odwzorowanieprzypisująceelementnajlepszejaproksymacjijestciągłedla
zwartychzbiorówCzebyszewa(zadanie2.9).
Zamieściliśmytutajtakżewieleelementarnychprzykładów,którychróżno-
rodnośćpozwoliCzytelnikowilepiejzapoznaćsięzgłównymipojęciamiteorii
aproksymacji.Formalnierzeczbiorąc,niektóreztychzadańdotycząrównież
przestrzeniunormowanych,alewszystkiejemożnarozwiązać,korzystająctylko
znierównościtrójkątaielementarnejwiedzymatematycznej.
Wtreścizadania2.12pojawiasiępojęciefunkcjijednostajnieciągłej,dlatego
przypominamyjejdefinicję:jeżeli(
X1jd1
)
j
(
X2jd2
)sąprzestrzeniamimetrycz-
nymi,tofunkcję
f
:
X1→X2
nazywamyjednostajnieciągłą,gdydlakażdego
5>
0istnieje
δ>
0takie,żewarunek
d1
(
xjy
)
<δ
implikuje
d2
(
f
(
x
)
jf
(
y
))
<5
dlawszystkichxjy∈X1.
Zadanie2.1.Niech
X
będzieprzestrzeniąmetrycznązmetryką
d
,a
V⊆X
niepustymzbiorem.Wykazać,żedladowolnychxjy∈Xzachodzinierówność
|dist(xjV)−dist(yjV)|<d(xjy)▷
Zadanie2.2.Wskazaćprzykładyprzestrzenimetrycznej(
Xjd
),zbioru
V⊆X
ipunktux∈Xtakich,że
(a)PV(x)=∅,
(b)PV(x)jestzbioremjednoelementowym,
