Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
PODSTAWYTEORIIAPROKSYMACJIWZADANIACH
(c)PV(x)madokładniekelementów,gdziekjestzadanąliczbąnaturalną,
(d)PV(x)manieskończoną,aleprzeliczalnąliczbęelementów,
(e)PV(x)jestnieprzeliczalny.
Zadanie2.3.Niech
V
będziedomkniętymkołemjednostkowymwprzestrzeni
R2
rozważanejznormąmaksimum.Wyznaczyćzbiory
PV
((1
j
2))oraz
PV
((2
j
2)).
Zadanie2.4.Scharakteryzowaćwszystkieprostenapłaszczyźnie
R2
rozważanej
znormąmaksimum,któresązbioramiCzebyszewawtejprzestrzeni.
Zadanie2.5.Niech
V
=
{
(
tjt
):
t∈R}
będzieprostąwprzestrzeni
R2
rozważanejznormą
ℓ1
.Wyznaczyćzbiór
PV
(
x
)orazodległość
dist
(
xjV
)dla
ustalonegowektorax=(x1jx2)takiego,żex1<x2.
Zadanie2.6.Niech
V
będziepodzbiorempłaszczyzny
R2
rozważanejznormą
euklidesową,któryjestzdefiniowanyjako
V={(xjy)∈R2:y=
1
2
x
2+b}j
gdzieb<−1jestliczbąrzeczywistą.WyznaczyćzbiórPV(0).
Zadanie2.7.Dowieść,żewdowolnejprzestrzenimetrycznej,wszystkiezbiory
proksyminalnesądomknięte.
Zadanie2.8.Wykazać,żekażdyniepustypodzbiórzwartyprzestrzenime-
trycznejjestwniejproksyminalny.
Zadanie2.9.Niech
V
będziepodzbioremzwartymprzestrzenimetrycznej
X
.
Wykazać,żejeśli
V
jestzbioremCzebyszewa,toodwzorowanie
X∋xl→
PV(x)∈Vjestciągłe.
Zadanie2.10.Niech
X
będzieprzestrzeniąmetrycznązmetryką
d
,a
V⊆X
niepustymzbiorem.Wykazać,żewówczas
(a)
Funkcja
d1
:
XXX→R+
danawzorem
d1
(
xjy
)=
1+d(x,y)
d(x,y)
jestmetryką
wX.
(b)V
jestzbioremproksyminalnymwmetryce
d
wtedyitylkowtedy,gdy
V
jestproksyminalnywmetryced1.
(c)V
jestzbioremCzebyszewawmetryce
d
wtedyitylkowtedy,gdy
V
jest
zbioremCzebyszewawmetryced1.
Zadanie2.11.(*)Niech
||·||
będzienormąeuklidesowąw
R2
.Wykazać,że
funkcjad:R2XR2→Rokreślonadlaxjy∈R2jako
d(xjy)=min{||x−y||j1+e1||x1y||}
jestmetryką
R2
.Rozstrzygnąć,czyprosta
RX{
0
}
jestzbioremproksyminalnym
wprzestrzeni(R2jd).
