Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3
Aproksymacjawprzestrzeniach
unormowanych
Wtymzbiorzezadańbędziemynajczęściejzajmowalisięaproksymacjąwróż-
norodnychprzestrzeniachunormowanych.Strukturaprzestrzeniliniowej,wraz
zmierzeniemodległościzużyciemnormy,dajenamznacznieszerszemoż-
liwościeksploracjipodstawowychpojęćteoriiaproksymacji.Okazujesię,że
istniejągłębokiezwiązkipomiędzywłasnościamiaproksymacyjnymidanej
przestrzeniunormowanejageometriątejprzestrzeni.Badaniomtychrelacji
poświęciliśmyznacznączęśćzbioruzadań.Wtymrozdzialezajmiemysię
własnościamiaproksymacyjnymi,któremożnaudowodnićwkażdejprzestrze-
niunormowanej.Własnościopisanewzadaniach3.1–3.4będąniejednokrot-
nieprzydatnewkolejnychrozdziałach.Przedstawionyjestrównieższereg
przykładówwróżnychprzestrzeniach,zarównociągowychjakifunkcyjnych.
Nauwagęzasługujezadanie3.8,któredotyczyaproksymacjidowolnejfunk-
cjiciągłejnaodcinku[
ajb
]funkcjamistałymi.Wtymzadaniuwykonujemy
pierwszykrokwstronęteoriiprzestrzeniHaara,którazostanierozwinięta
wdalszychrozdziałach.Zanimtojednaknastąpi,będziemyczęstoodwoły-
waćsiędotegowłaśniezadania.Wartojeszczewspomnieć,żezadanie3.15
dajeoszacowanienatakzwane
d
-sieciwkulijednostkowejprzestrzeniunor-
mowanej,czyliodpowiadawprzybliżeniunapytanieowielkośćzbiorów,które
zawierająelementwodległościniewiększejniż
d
oddowolnegowektorakuli
jednostkowej.
Dorozwiązaniazadańztegorozdziałuwystarcząjedyniepodstawowe
informacjedotycząceprzestrzeniunormowanych,przedewszystkimnierówność
trójkąta.
Zadanie3.1.Niech(
Xj"·"
)będzieprzestrzeniąunormowaną,a
V⊆X
niepustymzbioremwypukłymidomkniętym.Wykazać,żedladowolnego
x∈X
zbiórPV(x)jestwypukły.
