Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
PODSTAWYTEORIIAPROKSYMACJIWZADANIACH
Zadanie2.14.Niech
C∞
[
−
1
j
1]oznaczaprzestrzeńrzeczywistychfunkcjikla-
sy
C∞
określonychnaprzedziale[
−
1
j
1].Funkcja
d
:
C∞
[
−
1
j
1]
XC∞
[
−
1
j
1]
→R
określonajestdlafjg∈C∞[−1j1]jako
d(fjg)=
nlo
Σ
∞
2n("f(n)−g(n)"∞+1)
"f(n)−g(n)"∞
j
gdzief(n)jestn-tąpochodnąfunkcjiforaz"f"∞=supx∈[11,1]|f(x)|
(a)Wykazać,żedjestmetrykąnaC∞[−1j1].
(b)
Niech
V⊆C∞
[
−
1
j
1]będziepodprzestrzeniąfunkcjistałych.Dladanej
funkcji
f∈C∞
[
−
1
j
1]wyznaczyć
dist
(
fjV
)orazzbiór
PV
(
f
).Rozstrzygnąć,
czyVjestzbioremCzebyszewa.
(c)
Niech
V⊆C∞
[
−
1
j
1]będziepodprzestrzeniąwszystkichfunkcjiliniowych
g
:[
−
1
j
1]
→R
takich,że
g
(0)=0.Dlafunkcji
fo
(
x
)=
x2−
1wyznaczyć
dist(fojV)orazzbiórPV(fo).
