Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.APROKSYMACJAWPRZESTRZENIACHMETRYCZNYCH
Zadanie2.12.Funkcjad:R2XR2→Rdanajestwzorem
d((x1jx2)j(y1jy2))={|y2−x2|jjeżelix1=y1j
|x2|+|y2|+|x1−y1|jjeżelix1̸=y1▷
Definiujemyrównieżd1:R2XR2→Rjakod1(xjy)=d(xjy)+|x1−y1|.
(a)Wykazać,żeobiefunkcjedid1sąmetrykamiwR2.
(b)Dowieść,że
V={(tj0):x∈R}⊆R2j
jestzbioremCzebyszewawmetryce
d
.Dlaustalonego
x∈R2
wyznaczyć
distd(xjV)orazzbiórPV(x).Dowieść,żefunkcja
R2∋xl→PV(x)∈R2
jestjednostajnieciągła.
(c)Udowodnić,że
V={(tjt):x∈R}⊆R2j
jestzbioremCzebyszewawmetryce
d1
.Dlaustalonego
x∈R2
wyznaczyć
distd
1(xjV)orazzbiórPV(x)wmetryced1.Dowieść,żefunkcja
R2∋xl→PV(x)∈R2
niejestfunkcjąciągłą.Rozstrzygnąć,czy
V
jestzbioremCzebyszewa
wmetryced.
Zadanie2.13.Niech(
Xnjdn
)
∞
nl1
będzieciągiemprzestrzenimetrycznych
iniech
X={(xn)
∞
nl1:xn∈Xndladowolnegon∈N}▷
Określamyfunkcjęd:XXX→Rwzorem
d(xjy)=
nl1
Σ
∞
2n(dn(xnjyn)+1)
dn(xnjyn)
▷
Dladanegociągupodzbiorów(
Vn
)
∞
nl1
,gdzie
Vn⊆Xn
dla
n∈N
definiujemy
zbiórVjako
V={(xn)
∞
nl1:xn∈Vndlan∈N}▷
(a)Wykazać,żedjestmetrykąnaX.
(b)
Udowodnić,że
V
jestzbioremproksyminalnymw
X
wtedyitylkowtedy,
gdy
Vn
jestzbioremproksyminalnymw
Xn
dladowolnego
n∈N
.Udowod-
nić,że
V
jestzbioremCzebyszewaw
X
wtedyitylkowtedy,gdy
Vn
jest
zbioremCzebyszewawXndladowolnegon>1.
(c)
Dowieść,żejeżeli
V
jestzbioremCzebyszewaw
X
,toodwzorowanie
X∋x→PV
(
x
)jestciągłewtedyitylkowtedy,gdyodwzorowanie
Xn∋zl→PV
n(z)jestciągłedladowolnegon∈N.
21
