Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
5
Aproksymacjawhiperpłaszczyznach
przestrzeniBanacha
WłasnościaproksymacyjnepodzbiorówprzestrzeniBanachamogąbyćwogól-
nościbardzoskomplikowane,nawetjeżelizawęzimyuwagęwyłączniedopod-
przestrzeni.Jednakwpewnejsytuacjitewłasnościsązaskakującojednolite
iłatwedoscharakteryzowania.Chodzioprzypadekhiperpłaszczyzn,czyli
przestrzeniliniowychkowymiaru1.Mowatuosytuacjihiperpłaszczyzny,czy-
lipodprzestrzenikowymiaru1.Jeżeli
X
jestprzestrzeniąunormowaną,to
podzbiór
V⊆X
nazywamyhiperpłaszczyzną,gdyistniejeniezerowyfunk-
cjonał
f∈X∗
taki,że
V
=
kerf
.Okazujesię,żewśródtakichzbiorów
V
możemywprostysposóbscharakteryzowaćzbioryproksyminalneoraz
zbioryCzebyszewa.Wtymceluwystarczyzbadać,czyfunkcjonał
f
osią-
gaswojąnormę,ajeżelitak,towilupunktachsferyjednostkowej(zada-
nia5.4i5.5).Ponadto,jeśli
V
jesthiperpłaszczyzną,tojesteśmywsta-
niełatwowyznaczyćodległośćdowolnegowektoraod
V
.Mówiotymza-
danie5.1,któredotyczynawetbardziejogólnychzbiorów,czylihiperpłasz-
czyznafinicznych.Cowięcej,jeżelidlachociażjednegowektora
x∈X\V
zbiór
PV
(
x
)jestniepusty(jednoelementowy),totaksamobędziedlado-
wolnegowektoraztejprzestrzeni.Analogicznawłasnośćniezachodzidla
podprzestrzenikowymiaru2–kontrprzykładwprzestrzeni
ℓ1
przedstawio-
nyjestwzadaniu5.8.Zaskakującymożebyćfakt,iżwarunkiemwystarcza-
jącymnato,abykażdyniepustypodzbiórdomkniętyiwypukłybyłzbio-
remproksyminalnymwprzestrzeniBanacha
X
,jestproksyminalnośćkażdej
hiperpłaszczyzny(zadanie5.9).Przedprzystąpieniemdorozwiązywaniate-
gozadaniawartoprzypomniećsobietwierdzenie3(Jamesa)zrozdziału1
orazpoczątkowezadaniazpoprzedniegorozdziału.Resztazadańwtymroz-
dzialezwiązanajestzzastosowaniemzadań:5.1,5.4,5.5.Możeprzydaćsię
równieżnastępującetwierdzenieRieszaopostacifunkcjonałunaprzestrzeni
Hilberta:
