Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4.ISTNIENIEELEMENTUNAJLEPSZEJAPROKSYMACJIIJEGOCIĄGŁA...
Twierdzenie11(Osłabejzbieżności).Niech(
Xj"·"
)będzieprzestrzenią
Banacha.Jeżeliciąg(
xn
)
∞
nl1
wektorówprzestrzeni
X
jestzbieżnywtopologii
słabejdo
x∈X
,to
"x"<liminfn∈N"xn"
.Analogicznawłasnośćzachodzidla
słabozbieżnychciągówuogólnionych.
Twierdzenie12(Mazura).Niech
X
będzieprzestrzeniąBanacha,a
V⊆X
domkniętympodzbioremwypukłym.Wówczas
V
jestdomkniętyrównieżwsłabej
topologii.
Twierdzenie13(Šmuliana).PrzestrzeńBanacha
X
jestrefeksywnawtedy
itylkowtedy,gdykulajednostkowaBXjestzwartawsłabejtopologii.
Twierdzenie14(Eberleina).PrzestrzeńBanacha
X
jestrefeksywnawtedy
itylkowtedy,gdykulajednostkowaBXjestciągowozwartawsłabejtopologii.
Wrozdzialezamieściliśmyteższeregelementarnychprzykładów,które
uzupełniajązadaniabardziejteoretyczne.
Zadanie4.1.Niech(
Xj"·"
)będzieprzestrzeniąunormowaną,a
V⊆X
niepustympodzbiorem.Dlax∈X\Vorazn∈Ndefiniujemyzbiory
Vn={u∈V:"x−u"<dist(xjV)+
n}▷
1
Wykazać,żejeśliistniejetopologiaHausdorfa
τ
w
X
taka,żedlaodpowiednio
dużychnzbioryVnsązwartewtejtopologii,tozbiórPV(x)jestniepusty.
Zadanie4.2.Niech(
Xj"·"
)będzierefleksywnąprzestrzeniąBanacha,a
V⊆X
niepustymzbioremdomkniętymiwypukłym.Dowieść,że
V
jestzbiorem
proksyminalnymwX▷
Zadanie4.3.Niech(
Xj"·"
)będzieprzestrzeniąunormowaną,a(
X∗j"·"∗
)
jejprzestrzeniądualną.Udowodnić,żejeżeli
V⊆X∗
jestzbioremdomkniętym
w∗-słabejtopologii,toVjestzbioremproksyminalnymwX∗▷
Zadanie4.4.Niech1
<p<∞
.Wprzestrzeni
ℓp
rozważanejzestandardową
normą,wskazaćprzykładzbiorudomkniętego
V
iwektora
x∈ℓp
,dlaktórych
PV(x)=∅.
Zadanie4.5.Wprzestrzeni
co
,rozważanejznormąsupremum,definiujemy
zbiórVjako
V={(xn)∞
nl1∈co:
nl1
Σ
∞
xn
2n
=0}▷
Wykazać,że
V
jestwypukłymidomkniętympodzbiorem
co
,któryniejest
proksyminalny.
Zadanie4.6.Podaćprzykładzbioruwypukłegoidomkniętego
V
wprzestrze-
niℓ1,któryniejestproksyminalny.
27
