Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.APROKSYMACJAWPRZESTRZENIACHUNORMOWANYCH
Zdefiniujmy
V={f∈X:f(t)=0dlakażdegot∈[0j
1
2]}▷
Udowodnić,żedla
g∈X
zbiór
PV
(
g
)jestniepustywtedyitylkowtedy,gdy
g(1
2)=0▷
Zadanie3.12.Niech
X
będzienieskończeniewymiarowąprzestrzeniąośrod-
kową.Wykazać,żew
X
istniejegęstyiprzeliczalnyzbiórwektorów,którego
elementysąliniowoniezależne.
Zadanie3.13.Niech
X
będzieskończeniewymiarowąprzestrzeniąunormowa-
ną,a
Y⊆X
jejwłaściwąpodprzestrzenią.Wykazać,żeistniejewektor
x∈X
onormie1,dlaktóregodist(xjY)=1.
Zadanie3.14.Niech
X
będzienieskończeniewymiarowąprzestrzeniąunormo-
waną.Wykazać,żeistniejeniepusty,domkniętyiograniczonyzbiór
V⊆X
,dla
któregoPV(0)=∅.
Zadanie3.15.(*)Niech(
Xj"·"
)będzieprzestrzeniąunormowanąwymiaru
n
,
dzaśustalonąliczbądodatnią.
(a)
Wykazać,żeistnieje
N
-elementowyzbiór
V⊆BX
taki,że
N<(1+2
d)
n
orazdladowolnegox∈BXzachodzinierównośćdist(xjV)<d.
(b)
Udowodnić,żejeżeli
V⊆BX
jest
N
-elementowympodzbioremtakim,że
dladowolnegox∈BXzachodzinierównośćdist(xjV)<d,toN>d1n▷
25
