Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
PODSTAWYTEORIIAPROKSYMACJIWZADANIACH
Zadanie3.2.Niech(
Xj"·"
)będzieprzestrzeniąunormowaną,a
V
niepustym
podzbiorem
X
.Niech
x∈X\V
oraz
u∈PV
(
x
).Wykazać,żejeżeli
y∈X
leży
naodcinkuokońcachxiu,tou∈PV(y).
Zadanie3.3.Niech(
Xj"·"
)będzieprzestrzeniąunormowaną,a
V⊆X
niepustymzbioremdomkniętym,któregorozpięcieliniowe
linV
mawymiar
skończony.Wykazać,żeVjestzbioremproksyminalnymwX.
Zadanie3.4.Niech(
Xj"·"
)będzieprzestrzeniąunormowaną,a
V⊆X
zbioremCzebyszewa,któregorozpięcieliniowe
linV
mawymiarskończony.
Udowodnić,żefunkcjaxl→PV(x)jestciągła.
Zadanie3.5.Wskazaćprzykładtakiejnormywprzestrzeni
R2
,żepewien
zbiórniepusty,domkniętyiniewypukłyjestwniejzbioremCzebyszewa.
Zadanie3.6.Rozważmypodprzestrzenie
V={(tjtjt):t∈R}j
W={(tjsjs):tjs∈R}⊆R3
orazwektor
x
=(2
j
2
j
0)
∈R3
.Wyznaczyćzbiory
PV
(
x
)oraz
PW
(
x
),gdy
wprzestrzeniR3rozważamynormęℓpdlap=1,p=2lubp=∞.
Zadanie3.7.Niech
p∈
[1
j∞
)oraz
u
=(1
j1
2j1
4j1
8j▷▷▷
),
u
=(0
j
1
j1
2j1
4j1
8j▷▷▷
)
j
x
=(0
j
1
j
0
j
0
j▷▷▷
)będąwektoramiwrzeczywistejprzestrzeni
ℓp
.Wykazać,że
jeśliV=lin{uju}⊆ℓp,to
(a)dist(xjV)=1oraz#PV(x)>1dlap=1.
(b)dist(xjV)<1oraz#PV(x)=1dlap>1.
Zadanie3.8.Wrzeczywistejprzestrzenifunkcjiciągłych
C
[
ajb
]znormąsu-
premum,niech
g∈C
[
ajb
]będziedowolnąfunkcjąoraz
V
=
Po
(
R
).Przyjmijmy
m=minx∈[ł,b]g(x)orazM=maxx∈[ł,b]g(x)▷
(a)
Wykazać,że
dist
(
gjV
)=
M1m
2
oraz
PV
(
g
)=
{f}
,gdzie
f
jestfunkcją
stalerównąm+M
2
▷
(b)
Wyznaczyć
dist
(
hjV
)oraz
PV
(
h
)dla
a
=
−
1
jb
=2oraz
h
(
x
)=2
x4−x2−
8.
Zadanie3.9.Wprzestrzenirzeczywistychfunkcjiciągłych
C
[
−
1
j
1]znormą
supremum,niech
Vi
=
Pi
(
R
)dla
ź∈{
0
j
1
j
2
}
.Dlafunkcji
g
(
x
)=
x2
wyznaczyć
zbioryPV
ż(g)(gdzieź∈{0j1j2}).
Zadanie3.10.Wprzestrzeni
C
[
−
1
j
1]znormąsupremum,podprzestrzeń
V
zdefiniowanajestjako
V={f∈C[−1j1]:f|[11,o]≡0jf|[o,1]∈P1}▷
WyznaczyćzbiórPV(g)dlafunkcjig(x)=
1
2(x+1).
Zadanie3.11.Dlaustalonejliczby1
<p<∞
,niech
X
=
C
[0
j
1]znormą
danąjako
"f"=(/
o
1
|f(t)|pdt)
1
p
▷
