Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
Istnienieelementunajlepszejaproksymacji
ijegociągłazależnośćodelementu
aproksymowanego
Wtymikilkukolejnychrozdziałachbędziemyanalizowaliciekawąrelacjępomię-
dzygeometriąprzestrzeniunormowanej
X
awłasnościamiaproksymacyjnymi
tejprzestrzeni.Okazujesięnaprzykład,żewdowolnejprzestrzenirefleksywnej,
każdyniepustypodzbiórdomkniętyiwypukłyjestzbioremproksyminalnym
(zadanie4.2).Bezzałożeniarefleksywności,analogicznyfaktmożnaudowod-
nićwprzestrzenidualnej,aledlazbiorów
∗
-słabodomkniętych(zadanie4.3).
JeszczelepszewłasnościaproksymacyjneposiadająprzestrzenieBanacha,ztak
zwanąwłasnością(H).Mówimy,żeprzestrzeńBanacha
X
mawłasność(
H
),
jeżelidowolnyciągwektorówjednostkowych(
xn
)
∞
nl1⊆X
,któryjestzbieżny
słabodopewnegowektorajednostkowego
x∈X
,jestrównieżzbieżnydo
x
wtopologiinormy.Własność(H)wliteraturzenazywanajestczęstowłasnością
Kadeca-Klee.Nawiązujądoniejzadania4.9–4.13.Ostatnieznichprowadzi
dokonkluzji,żewrefleksywnychprzestrzeniachzwłasnością(H),funkcja
xl→PV
(
x
)jestciągładlawypukłychzbiorówCzebyszewa
V
.Przykładem
przestrzeniBanachazwłasnością(H)jestdowolnaprzestrzeńHilberta(zadanie
4.10).Dlaodmiany,przestrzeń
C
[0
j
1]tejwłasnościnieposiada(zadanie4.11).
Doudowodnieniategofaktumożeprzydaćsięnastępującacharakteryzacja
słabejzbieżnościwprzestrzeniC[0j1]:
Twierdzenie10(Charakteryzacjasłabejzbieżnościwprzestrzenifunkcji
ciągłych).Ciągfunkcji(
fn
)
∞
nl1
zprzestrzeni
C
[0
j
1]zbiegadofunkcji
f∈C
[0
j
1]
wtopologiisłabejwtedyitylkowtedy,gdydladowolnego
t∈
[0
j
1]zachodzi
zbieżność
fn
(
t
)
→f
(
t
)dla
n→∞
orazistniejestała
C>
0taka,że
"fn"<C
dladowolnegon>1.
Wtymrozdzialeużytecznemożeokazaćsiętakżetwierdzenie4(Banacha–
Alaouglu)zrozdziałupierwszegooraznastępującerezultaty:
