Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
PODSTAWYTEORIIAPROKSYMACJIWZADANIACH
Zadanie4.7.Wrzeczywistejprzestrzeni
ℓ∞
,rozważanejzklasycznąnormą,
niechVbędzieprzestrzeniąliniowąwektorówpostaci(ujuju▷▷▷),gdzieu∈R.
Wykazać,że
V
jestzbioremCzebyszewa.Rozstrzygnąć,czyfunkcja
ℓ∞∋xl→
PV(x)jestfunkcjąciągłą.Rozstrzygnąćponadto,czyjesttofunkcjaliniowa.
Zadanie4.8.Wrzeczywistejprzestrzeni
L1
[0
j
1],rozważanejzestandardo-
wąnormą,niech
V
będzieprzestrzeniąfunkcjistałych.Funkcja
g∈L1
[0
j
1]
określonajestjako
g
(
t
)=1dla
t∈
[0
j1
2
]oraz
g
(
t
)=0dla
t∈
(
1
2j
1].Wy-
znaczyć
dist
(
gjV
)orazzbiór
PV
(
g
).Rozstrzygnąć,czyistniejefunkcjaciągła
P
:
L1
[0
j
1]
→V
,któradladowolnejfunkcji
f∈L1
[0
j
1]spełniawarunek
P(f)∈PV(f).
Zadanie4.9.Niech(
Xj"·"
)będzieprzestrzeniąBanacha.Wykazać,żeprze-
strzeń
X
mawłasność(H)wtedyitylkowtedy,gdydladowolnegociągu
(
xn
)
∞
nl1⊆X
i
x∈X
zachodziimplikacja:jeżeli
xn→x
wsłabejtopologiioraz
"xn"→"x",toxn→xwtopologiinormy.
Zadanie4.10.Dowieść,żedowolnaprzestrzeńHilbertaposiadawłasność(H).
Zadanie4.11.Wykazać,żeprzestrzeń
C
[0
j
1],rozważanaznormąsupremum,
niemawłasności(H).
Zadanie4.12.Niech(
Xj"·"
)będzieprzestrzeniąBanachazwłasnością
(H),a
V⊆X
dowolnymzbioremproksyminalnym.Załóżmy,żeciąg(
xn
)
∞
nl1
elementówz
X
jestzbieżnywnormiedopewnegowektora
x∈X
.Niech(
un
)
∞
nl1
będzietakimciągiemwektorówz
X
,że
un∈PV
(
xn
)dla
n∈N
.Załóżmy,żeciąg
(
un
)
∞
nl1
jestzbieżnywsłabejtopologiidopewnegoelementu
u∈V
.Wykazać,
żeu∈PV(x)orazciąg(un)∞
nl1zbiegadourównieżwtopologiinormy.
Zadanie4.13.Niech
X
będzierefleksywnąprzestrzeniąBanachazwłasnością
(H),a
V⊆X
wypukłymzbioremCzebyszewa.Dowieść,żefunkcja
X∋xl→
PV(x)∈Vjestciągła.
