Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
PODSTAWYTEORIIAPROKSYMACJIWZADANIACH
Twierdzenie15(Rieszaoreprezentacji).Niech
H
będzieprzestrzeniąHilberta.
Jeżeli
f∈H∗
jestfunkcjonałemliniowym,toistniejedokładniejedenwektor
y∈Htaki,że
f(x)=(xjy⟩
dladowolnego
x∈H
.Cowięcej,zachodzirówność
"f"
=
"y"
.Odwrotnie,jeżeli
y∈Hjestustalonymwektorem,toodwzorowaniepostaci
H∋xl→(xjy⟩∈K
jestciągłymfunkcjonałemliniowymonormie"y".
Wzadaniach5.10oraz5.13pojawiasiępojęciewymiaruafinicznegozbioru.
Wymiarafinicznypodzbioru
V
przestrzeniunormowanej
X
tonajmniejszy
możliwywymiarpodprzestrzeniafinicznej
Y⊆X
takiej,że
V⊆Y
.Innymi
słowy,tonajmniejszymożliwywymiarpodprzestrzeniliniowej
Z⊆X
,dlaktórej
istniejewektor
w∈X
taki,że
V⊆Z
+
w
.Jeżelinieistniejetakapodprzestrzeń
afiniczna
Y
(lubpodprzestrzeńliniowa
Z
)owymiarzeskończonym,towówczas
przyjmujemy,żewymiarafinicznyzbioruVjestnieskończony.
Zadanie5.1.Niech
X
będzieprzestrzeniąunormowaną,a
f
:
X→K
niezero-
wymfunkcjonałemliniowymiciągłym.Dla
o∈K
rozważmyhiperpłaszczyznę
afiniczną
V={x∈X:f(x)=o}▷
Wykazać,żedladowolnegox∈Xzachodzirówność
dist(xjV)=
|f(x)−o|
"f"
▷
Zadanie5.2.Danesąliczbyrzeczywiste
aoja1ja2j▷▷▷jan
,przyczymconaj-
mniejjednazliczb
a1ja2j▷▷▷jan
jestniezerowa.Wyznaczyćodległośćeuklide-
sowąpunktu
y∈Rn
dohiperpłaszczyznyafinicznejw
Rn
,którajestzadana
równaniem
ao+a1x1+a2x2+▷▷▷+anxn=0▷
Zadanie5.3.Wprzestrzenirzeczywistychfunkcjiciągłych
C
[0
j
1]rozważanej
znormąsupremum,niechV⊆C[0j1]będziezbioremzdefiniowanymjako
V={f∈C[0j1]:/
1
2
1
f(x)dx=f(0)}▷
Wyznaczyćdist(gjV)dlafunkcjig∈C[0j1]zdefiniowanejjakog(x)=x2▷
Zadanie5.4.Niech
X
będzieprzestrzeniąunormowaną,a
V
=
kerf
,gdzie
f
:
X→K
jestniezerowymfunkcjonałemliniowymiciągłym.Udowodnić,że
następującewarunkisąrównoważne:
(a)ZbiórVjestproksyminalny.
(b)Istniejewektorxo∈X\V,dlaktóregozbiórPV(xo)jestniepusty.
