Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
5.APROKSYMACJAWHIPERPŁASZCZYZNACHPRZESTRZENIBANACHA
(c)
Istniejewektorjednostkowy
x1∈X
,dlaktóregozachodzirówność
f(x1)="f"▷
Zadanie5.5.Niech
X
będzieprzestrzeniąunormowaną,a
V
=
kerf
,gdzie
f
:
X→K
jestniezerowymfunkcjonałemliniowymiciągłym.Udowodnić,że
następującewarunkisąrównoważne:
(a)ZbiórVjestzbioremCzebyszewa.
(b)
Istniejewektor
xo∈X\V
,dlaktóregozbiór
PV
(
xo
)madokładniejeden
element.
(c)
Istniejedokładniejedenwektorjednostkowy
x1∈X
,dlaktóregozachodzi
równośćf(x1)="f"▷
Zadanie5.6.Rozważmyprzestrzeńrzeczywistychfunkcjiciągłych
C
[0
j
1]
znormąsupremum.Niech
L
:
C
[0
j
1]
→R
będziefunkcjonałemliniowym
danymjako
L(f)=3f(
1
2)−5f(
2
3)dlaf∈C[0j1]▷
Rozstrzygnąć,czyzbiór
V
=
kerL
jestproksyminalnyw
C
[0
j
1].Jeślitak,to
rozstrzygnąć,czyjestzbioremCzebyszewa.
Zadanie5.7.Rozważmyprzestrzeń
c
rzeczywistychciągówzbieżnychznormą
supremum.Niechf:c→Rbędziefunkcjonałemliniowymdanymjako
∞
f(x)=
Σ
21k(xk−lim
n→∞
xn)j
kl1
dla
x
=(
x1jx2j▷▷▷
)
∈c
.Rozstrzygnąć,czyzbiór
V
=
kerf
jestproksyminalny
wprzestrzenic.Jeślitak,torozstrzygnąćczyjestzbioremCzebyszewa.
Zadanie5.8.Wrzeczywistejprzestrzeni
ℓ1
,rozważanejzklasycznąnormą,
niechV=kerf∩kerg,gdziefunkcjonałyfjg:ℓ1→Rdanesąjako
f(x)=x1
oraz
g(x)=
kl2
Σ
∞
k+1
k
xk
dla
x
=(
x1jx2j▷▷▷
)
∈ℓ1
.Wykazać,żeistniejąwektory
xjy∈ℓ1\V
takie,że
PV(x)̸=∅orazPV(y)=∅.
Zadanie5.9.Niech
X
będzieprzestrzeniąBanacha.Wykazać,żedowolna
hiperpłaszczyznaw
X
jestzbioremproksyminalnymwtedyitylkowtedy,
gdydowolnydomknięty,wypukłyiniepustypodzbiór
X
jestzbioremproksy-
minalnym.
Zadanie5.10.Niechf:ℓ1→Kbędzieodwzorowaniemdanymjako
f(x)=
kl1
Σ
∞
akxkj
31
