Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
PODSTAWYTEORIIAPROKSYMACJIWZADANIACH
1
p
+
1
q
=1.Wtedydladowolnegofunkcjonału
O∈L∗
p
(Ω
j
Σ
jµ
)istniejedokładnie
jednafunkcja
g∈Lq
(Ω
j
Σ
jµ
)taka,żedladowolnego
f∈Lp
(Ω
j
Σ
jµ
)zachodzi
równość
O(f)=/
Ω
f(t)g(t)dµ(t)▷
Dodatkowo,wtejsytuacjispełnionyjestwarunek
"O"∗
=
"g"q
.Równieżodwrot-
nie,jeżeli
g∈Lq
(Ω
j
Σ
jµ
),tofunkcjonał
Og
,zdefiniowanyanalogiczniejakpo-
wyżej,jestelementemprzestrzeni
L∗
p
(Ω
j
Σ
jµ
)izachodzirówność
"Og"∗
=
"g"q▷
Jeżeli
p
=1,tostwierdzenieanalogicznedopowyższegozachodzidla
q
=
∞
,
przydodatkowymzałożeniu,żemiaraµjestσ-skończona.
Powyższetwierdzenieniemusizachodzićdla
p
=
∞
.Przykładowo,nie
zachodzirównośćℓ∗
∞=ℓ1(prawdziwejestjedyniezawieranieℓ1⊆ℓ∗
∞).
Twierdzenie6(Tietzego).Niech
K
będziezwartąprzestrzeniąHausdorfa,
zaś
A⊆K
niepustymidomkniętympodzbiorem.Załóżmy,że
f
:
A→R
jest
odwzorowaniemciągłym.Wówczasistniejeodwzorowanieciągłe
fo
:
K→R
takie,że
fo
(
x
)=
f
(
x
)dladowolnego
x∈A
oraz
sup{|f
(
a
)
|
:
a∈A}
=
sup{|fo(x)|:x∈K}▷
Twierdzenie7(Ooddzielaniuzbiorówwypukłych).Niech
X
będzieskończenie
wymiarowąprzestrzeniąunormowaną.Załóżmy,że
AjB⊆X
sąrozłączny-
mizbioramiwypukłymi,zktórychprzynajmniejjedenjestzbioremzwartym.
Wówczasistniejefunkcjonał
f∈X∗
orazliczbyrzeczywiste
c1<c2
,takie,że
dladowolnychwektorów
a∈A
,
b∈B
zachodząnierówności
ℜ
(
f
(
a
))
<c1<
c2<ℜ(f(b)).
Twierdzenie8(Zasadamaksimumdlafunkcjiholomorficznych).Niech
U⊆C
będzieograniczonym,niepustymispójnymzbioremotwartym,a
f
:
U→C
funkcjąciągłą,którajestholomorficznana
U
.Wówczasistniejetakipunkt
uo∈U\U
,że
|f
(
uo
)
|
=
max{|f
(
u
)
|
:
z∈U}
.Dodatkowo,jeżeliistniejepunkt
u1∈U
taki,że
|f
(
u1
)
|
=
max{|f
(
u
)
|
:
z∈U}
,to
f
jestfunkcjąstałąna
U
.
Analogicznetwierdzeniepozostajeprawdziwe,gdywkażdymmiejscumoduł
liczbyzespolonejzostaniezastąpionyprzezczęśćrzeczywistą.
Twierdzenie9(Rungego).Niech
K⊆C
będziezwartyminiepustympodzbio-
rempłaszczyznyzespolonej,któregodopełnieniejestspójne.Załóżmy,że
U⊆C
jestzbioremotwartymtakim,że
K⊆U
,a
f
:
U→C
funkcjąholomorficzną.
Wówczasistniejeciągwielomianów(
pn
)
∞
nl1⊆P
(
C
),któryjestzbieżnydo
f
jednostajnienazbiorzeK.
