Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.INFORMACJEPODSTAWOWE
funkcjiciągłychookresie2
π
.Będziemyjąoznaczaćjako
Co
(
R
)irozważamy
wniejnormęsupremum,czylijeżeli
f∈Co
(
R
),to
"f"∞
=
supx∈R|f
(
x
)
|
.Ze
względunaciągłośćiokresowośćfunkcji,tosupremumjestosiągane.Przestrzeń
(Co(R)j"·"∞)jestrzeczywistąprzestrzeniąBanacha.
Inneoznaczenia
Dlax∈Rprzezsgn(x)oznaczamyznakliczbyx,czyli
sgn(x)=
(
I
I
4
I
I
l
1
0
−1
jeżelix>0j
jeżelix=0j
jeżelix<0▷
Dlaliczbyzespolonej
z
,przez
ℜ
(
z
)oznaczamyjejczęśćrzeczywistą.Symbo-
lem
D
(
ajr
)oznaczamykołootwarteośrodkuwpunkcie
a∈C
ipromieniu
r>
0napłaszczyźniezespolonej.Przez
D
(
ajr
)oznaczamyanalogicznekoło
domknięte,aprzez
C
(
ajr
)brzegtegokoła,czyliokrąg.Zbiór
T
=
C
(0
j
1)
jestokręgiemjednostkowymnapłaszczyźniezespolonej,a
D
=
D
(0
j
1)kołem
jednostkowym.Czasemprzez
T
będziemyrównieżrozumiećokrągjednostkowy
napłaszczyźnieR2.
Listaprzydatnychtwierdzeń
Poniżejzamieszczamykilkatwierdzeń,któremogąprzydaćsiędorozwiązy-
waniazadańztegozbioru.Ichkolejnośćniekoniecznieodpowiadakolejności
zadańirozdziałów,wktórychbędąwykorzystywane.Dowodyponiższychtwier-
dzeńmożnaznaleźćwklasycznychpodręcznikachzanalizymatematycznej,
funkcjonalnejlubzespolonej.
Twierdzenie1(Hahna–Banacha).Niech
X
będzieprzestrzeniąunormowaną,
a
Y
jejpodprzestrzenią.Załóżmy,że
f
:
Y→K
jestfunkcjonałemliniowym
iciągłym.Wówczasistniejefunkcjonałliniowyiciągły
fo
:
X→K
taki,że
fo|Y=foraz"fo"="f".
Twierdzenie2(Owydobywaniunormy).Niech
X
będzieprzestrzeniąunor-
mowaną,a
x∈X
dowolnymwektorem.Wówczasistniejefunkcjonał
f∈X∗
taki,że"f"=1orazf(x)="x".
Twierdzenie3(Jamesa).PrzestrzeńBanacha
X
jestprzestrzeniąrefeksyw-
nąwtedyitylkowtedy,gdydlakażdegofunkcjonału
f∈X∗
istniejewektor
jednostkowyx∈Xtaki,żef(x)="f".
Twierdzenie4(Banacha–Alaouglu).Jeżeli
X
jestprzestrzeniąunormowaną,
tokulajednostkowa
BX∗
wprzestrzenidualnejjestzbioremzwartymw
∗
-słabej
topologii.
Twierdzenie5(Oprzestrzenidualnejdo
Lp
(Ω
j
Σ
jµ
)).Niech(Ω
j
Σ
jµ
)będzie
przestrzeniązmiarąoraz1
<p<∞
.Niech
q∈
(1
j∞
)będzietakie,że
17
