Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.INFORMACJEPODSTAWOWE
(b)d(xjy)=d(yjx)dladowolnychxjy∈X.
(c)d(xjy)<d(yjz)+d(zjx)dladowolnychxjyjz∈X.
Wtakiejsytuacjiparę(
Xjd
)będziemynazywaćprzestrzeniąmetryczną.Na
szczególnąuwagęzasługujeostatniwarunek,którynosinazwęnierównościtrój-
kąta.Jakokażesięwkolejnychrozdziałach,będzietojednozfundamentalnych
narzędzipotrzebnychdorozwiązywaniazadańztegozbioru.
Kluczowepojęciateoriiaproksymacji
Załóżmyteraz,że(
Xjd
)jestprzestrzeniąmetryczną,a
V
niepustympod-
zbiorem
X
.Mającjużmożliwośćmierzeniaodległościpomiędzyelementami
X
,
możemybeztruduzdefiniowaćodległośćelementuodzbioru.Jeżeli
x∈X
,to
definiujemyodległośćxodzbioruV,wskróciedist(xjV),jako
dist(xjV)=inf
v∈V
d(xju)▷
Tęodległośćnazywamyteżczasembłędemaproksymacji.Zbiórelementów
realizującychpowyższeinfimumoznaczanyjestjakoPV(x),czyli
PV(x)={u∈V:d(xju)=dist(xjV)}▷
Jakwiadomo,infimumniemusibyćrealizowaneprzezjakiśkonkretnyelement,
więc
PV
(
x
)możebyćzbiorempustym.Element
uo∈PV
(
x
)nazywamyelemen-
temnajlepszejaproksymacji(lubelementemoptymalnym)dla
x
wzbiorze
V
.
Jasnejest,żePV(x)={x}dlax∈V▷
Jeżelidladowolnego
x∈X
zbiór
PV
(
x
)jestniepusty,to
V
nazywamy
zbioremproksyminalnymw
X
.Ponadto,jeżelidladowolnego
x∈X
zbiór
PV
(
x
)zawieradokładniejedenelement,to
V
nazywamyzbioremCzebyszewa
w
X
.Przyjmujemynastępującąkonwencję:jeżeliwdanejsytuacjibędziejasne,
że
V
jestzbioremCzebyszewa,towceluuproszczenianotacji,zapisem
PV
(
x
)
będziemyczęstooznaczaćjedynyelementwtymzbiorze(chociażformalniejest
tozbiór).Odległośćelementuodzbioru,zbiórelementównajlepszejaproksy-
macji,zbioryproksyminalneiCzebyszewatopodstawowepojęcianiniejszego
zbioruzadań.Zdecydowanawiększośćztychzadańdotyczybezpośrednioprzy-
najmniejjednegoztychpojęć.Pozostałezadania,nawetjeżeliniedotycząich
bezpośrednio,towiążąsięznimiwinny,mniejoczywistysposób.
Przestrzenieunormowane
Kluczowepojęciateoriiaproksymacjimająsenswkażdejprzestrzenime-
trycznej,alekontekstogólnejprzestrzenimetrycznejjestgeneralnieniewystar-
czający,żebyzbudowaćbogatąteorięopartąnatychpojęciach.Ztegowzględu
zdecydowanawiększośćzadańwtymzbiorzepoświęconajestteoriiaproksymacji
wprzestrzeniachunormowanych(lubjeszczebardziejspecyficznych).Przestrzeń
unormowanaróżnisięodmetrycznejtym,żejejelementytworząprzestrzeń
11
