Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
PODSTAWYTEORIIAPROKSYMACJIWZADANIACH
wektorowąnadpewnymciałem,ametrykapochodzącaodnormyjestkompa-
tybilnazestrukturąprzestrzeniwektorowej.Todajedużowięcejmożliwości
badaniakluczowychpojęćteoriiaproksymacji.Wszystkieprzestrzenieliniowe
wtymzbiorzezadańbędąrozpatrywanenadciałem
K
liczbrzeczywistychlub
zespolonych,czyli
K
=
R
lub
K
=
C
.Ponadto,przyjmujemytakąkonwencję,
żejeżeliwtreścizadanianiejestsprecyzowane,októrymcielejestmowa,to
dotyczyonoobydwutychciał(chociażprzypadekrzeczywistyizespolonymogą
różnićsięodsiebieiwymagaćosobnychrozumowań).Wzadaniachdotyczących
konkretnychciał,zawszejesttodokładniesprecyzowane.Załóżmywięc,że
X
jestprzestrzeniąwektorową(liniową)nadciałem
K
.Normanaprzestrzeni
X
toodwzorowanie"·":X→R,którespełnianastępującewarunki:
ů"x">
0dladowolnego
x∈X
,arówność
"x"
=0zachodziwtedyitylko
wtedy,gdyx=0.
ů"ax"=|a|"x"dladowolnegowektorax∈Xorazskalaraa∈K.
ů"x+y"<"x"+"y"dladowolnychxjy∈X.
Parę(
Xj"·"
)nazywamyprzestrzeniąunormowaną.Łatwosprawdzić,żekażda
normagenerujemetrykęna
X
,któradla
xjy∈X
danajestjako
"x−y"
.
Zewzględunazwiązekzestrukturąliniową
X
,normaniesiejednakznacznie
więcejinformacji.Wartorównieżzaznaczyć,żetakżeiwtymprzypadku,
nierównośćdanawostatnimwarunkunazywanajestnierównościątrójkąta.
KulawprzestrzeniXośrodkuwpunkciexipromieniur>0,jestzbiorem
B(xjr)={y∈X:"x−y"<r}▷
Symbol
BX
=
B
(0
j
1)będzieoznaczałkulęjednostkowąwprzestrzeni
X
ośrodkuwzerzeipromieniu1.Sferajednostkowa,czylibrzegtejkuli,oznaczana
jestjako
SX▷
Centralnymobiektemzainteresowańanalizyfunkcjonalnejjest
pewnarodzinaprzestrzeniunormowanych,nazywanychprzestrzeniamiBanacha.
Przestrzeńunormowana(
Xj"·"
)jestprzestrzeniąBanacha,jeżeli
X
jest
przestrzeniązupełną,czyligdykażdyciągCauchy’egoelementów
X
jestciągiem
zbieżnymw
X
.Jeżeli
X
jestprzestrzeniąwektorową,a
V
niepustympodzbiorem
X
,toprzez
linV
oznaczamynajmniejszą(wsensieinkluzji)podprzestrzeń
liniową
X
,którazawiera
V
.Normy
"·"1
oraz
"·"2
naprzestrzeniwektorowej
X
nazwiemyrównoważnymi,gdyistniejąstałe
AjB>
0takie,żedladowolnego
x∈XspełnionyjestwarunekA"x"1<"x"2<B"x"1.
Zpunktuwidzeniateoriiaproksymacjiszczególnieważnąrolęodgrywatak
zwanaprzestrzeńdualnadodanejprzestrzeniunormowanej.Jeżeli(
Xj"·"
)
jestprzestrzeniąunormowanąnadciałem
K
,toprzestrzeńdualna(
X∗j"·"∗
)
jestrównieżprzestrzeniąunormowanąnadciałem
K
,którajestzdefiniowana
następująco:
X
∗={f:X→K:fjestlinioweiciągłe}
oraz
"f"∗
=
supx∈B
X|f
(
x
)
|
.Odwzorowanie
f∈X∗
nazywasięfunkcjonałem.
