Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Falapłaskamonochromatyczna
75
Rozpisująciloczynskalarnyklrnaskładowe,równanie(2.2a)mono-
chromatycznejfalipłaskiejprzybierapostać
E(r,
w
t)=E
0exp(i
w
t)lexp[-i(k
xx+k
yy+k
zz)].
(2.2b)
Pokażemydalej,żewzór(2.2a)spełniarównaniefalowe(2.1a).Wiel-
kąkorzyściązapisuzespolonegojestłatwośćróżniczkowania.Dla
funkcjiexp(i
w
t)występujewtakimprzypadkuprzyporządkowanie
B/Bt→i
w
,wwynikuczegoz(2.1a)uzyskujesięnatychmiast(2.1b).
Wprzypadkuzmiennychprzestrzennychdziałanieoperatoremnabla∇
nawektorE=E
0exp(-iklr)jestrównoważnemnożeniuprzez-ik,czyli
∇lE.=.-iklE,cooznaczaodpowiedniość∇→-ik.Przyporządkowaniepo-
wyższestosujesiędlakażdejoperacjizawierającejoperatornabla,tj.dla
operatoraLaplace’a,operatorówgradientu,rotacjiidywergencji.
Wceluwykazania,że∇→-ikwystarczyobliczyćiloczyn∇lE,rozpisującnaskłado-
weoperatornabla∇=e
Traktującoperator∇jakwektor,otrzymujemyjakdlailoczynuskalarnego
WprzypadkuoperatoraLaplace’a(nablakwadrat)napodstawiepowyższegorównania
znajdujesię
Przykład2.1
∇l(∇lE)=∇l(-iklE)=-ik∇lE=-klklE=-k
∇lE=E
xB
x+e
=-ik
=-i(k
yB
0xB
y+e
xE
xE
xe
0xe
-iklr+E
0x+k
zB
-iklr-ik
zorazwektorE(r)=(E
yE
0yB
0y+k
yE
ye
-iklr+E
0ye
zE
-iklr-ik
0z)e
0zB
-iklr=-iklE(r).
ze
zE
-iklr=
0ze
0xe
-iklr=
x+E
2E.
0ye
y+E
0ze
z)le
-iklr.
Wykorzystującpodaneprzyporządkowania,powstawieniu(2.2a)do
równania(2.1)uzyskujesięnatychmiast
k
2
E
=
εµ
r
r
ω
c
2
2
E
,
(2.3)
skądwynika,żezależność(2.2a)spełniarównaniefalowe,podwarun-
kiemże
k
=
(
ω
c
)
εµ
r
r
=
(
ω
cn
)
=
(
2
π
λ
0
)
n
.
(2.4)
Współczynnikn
=
εµ
r
r
nosinazwęwspółczynnikazałamaniaośrodka,
którydlapróżni(
e
r.=.1,
H
r.=.1)równyjestjedności.Wektork.=.kle
njest
