Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Całkowanieprzezpodstawienie
21
(patrzwzór(1.28)),więc
/xlnx2dx=
1
2(t(lnt−1)+C).
Wracającdozmiennejx,otrzymujemy
/xlnx2dx=
x2(lnx2−1)
2
+C.
I
Ćwiczenie1.26.Obliczyćcałkę
I=/x3(1+x4)2dx.
Rozwiązanie.Zadanierozwiążemydwomasposobami.
Sposób1.Podstawiając1+x4=t,dostajemy4x3dx=dt,skądx3dx=dt
4.
Mamyzatem
I=/(1+x4)2x3dx=/t2
dt
4
=
12
1
t
3+C
oraz,wracającdozmiennejx,
I=
12
1
(1+x4)3+C
lubrównoważnie
I=
12
1
+
1
4
x
4+
1
4
x
8+
12
1
x
12+C.
Sposób2.Ponieważ(1+x4)2=1+2x4+x8,więc
I=/x3(1+2x4+x8)dx=/(x3+2x7+x11)dx=
=
x4
4
+2
x8
8
+
x12
12
+C=
1
4
x
4+
1
4
x
8+
12
1
x
12+C.
I
Ćwiczenie1.27.Obliczyćcałkę
I=/
1+4x2
dx
.
Rozwiązanie.Zauważmynajpierw,że
1+4x2
1
=
1+(2x)2
1
.
Przyjmując2x=t,mamy2dx=dt,skąddx=dt
2.Korzystającterazzewzoru
(1.14),dostajemy
I=/
1+(2x)2
dx
=/
1+t2
dt
2
=
1
2/
1+t2
dt
=
=
1
2
arctgt+C=
1
2
arctg(2x)+C.
I
