Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
1.Całkinieoznaczone
Stąd
f
/(x)=
1
x
,
g(x)=
n+1
xn+1
.
Korzystajączewzoru(1.26),dostajemy
/xnlnxdx=
n+1
xn+1
lnx−/
n+1
xn+1
x
1
dx=
=1
n+1xn+1lnx−1
n+1/xndx=
=1
n+1xn+1lnx−
(n+1)2xn+1+C=
1
=1
n+1xn+1(lnx−1
n+1)+C,
skądostatecznie
/xnlnxdx=1
n+1xn+1(lnx−1
n+1)+C.
Ćwiczenie1.15.Obliczyćcałkę
/exsinxdx.
Rozwiązanie.Całkujemyprzezczęści,przyjmując
f(x)=sinx,
g
/(x)=ex.
Stąd
f
/(x)=cosx,
g(x)=ex.
Azatem
(1.30)
I
/exsinxdx=exsinx−/excosxdx.
(1.31)
Całkę∫excosxdxrównieżobliczamy,stosującmetodęcałkowaniaprzezczęści.
Oznaczmy
f1(x)=cosx,
g
1(x)=ex.
/
Wtedy
Mamywięc
f
1(x)=−sinx,
/
g1(x)=ex.
/excosxdx=excosx+/exsinxdx.
Korzystajączewzorów(1.31)oraz(1.32),dostajemy
/exsinxdx=exsinx−(excosx+/exsinxdx)=
=exsinx−excosx−/exsinxdx.
(1.32)
