Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
(iii)d(xjg)=d(gjx)dlawszystkichxjg∈X,
(iv)d(xjz)≤d(xjg)+d(gjz)dlawszystkichxjgjz∈X.
Wdowolnejprzestrzenimetrycznejkulaotwartaośrodkuwxipromie-
niuTjesttozbiór
Br(x)={g:d(xjg)<T}.
Wszczególności,jeśliXjestprzestrzeniąunormowaną,tozbiory
B1(0)={x:"x"<1}
i
B1(0)={x:"x"≤1}
nazywamyodpowiedniootwartąkuląjednostkowąidomkniętąkuląjednost-
kową.
Wprzestrzenimetrycznejmożemywprowadzićtopologię(por.paragraf
1.5)definiując,że(byćmożepusty)podzbiórjestotwartywtedyitylko
wtedy,gdyjestsumąkulotwartych.Nietrudnosprawdzić,żeoperacjeprze-
strzeniliniowej(dodawaniewektorówimnożenieprzezskalary)sąciągłe
wtakwprowadzonejtopologiinaprzestrzeniunormowanej.
PrzestrzeniąBanachanazywamyprzestrzeńunormowaną,którajestzu-
pełnawmetrycezadanejprzezjejnormę,tj.każdyciągCauchy’egojest
wniejzbieżny.
1.3.Wielenajbardziejznanychprzestrzenifunkcyjnychjestprzestrzenia-
miBanacha.Wspomnijmychociażbykilka:przestrzeniefunkcjiciągłychna
przestrzeniachzwartych,przestrzenieLpznanezteoriicałki,przestrzenie
Hilberta—najbliżsikrewniprzestrzenieuklidesowych,pewneprzestrze-
niefunkcjiróżniczkowalnych,przestrzenieciągłychodwzorowańliniowych
zjednejprzestrzeniBanachawdrugą,algebryBanacha.Wszystkieteprze-
strzeniepojawiąsięwdalszejcześciksiążki.
Jestjednakwieleprzykładówważnychprzestrzeni,któreniepasujądo
tegoschematu.Otokilkaznich:
(a)C(Ω),przestrzeńwszystkichzespolonychfunkcjiciągłychnapewnym
otwartympodzbiorzeΩwprzestrzenieuklidesowejRn;
(b)H(Ω),przestrzeńwszystkichfunkcjiholomorficznychnapewnymotwar-
tymzbiorzeΩnapłaszczyźniezespolonej;
(c)C∞
K,przestrzeńnieskończeniewielerazyróżniczkowalnychfunkcjize-
spolonychnaRn,znikającychpozapewnymustalonymzwartymzbio-
remKoniepustymwnętrzu;
(d)przestrzeniefunkcjipróbnychużywanewteoriidystrybucjiiprzestrze-
niesamychdystrybucji.
Wdalszychrozdziałachzobaczymy,żepowyższeprzestrzeniemająna-
turalnetopologie,któreniemogąbyćzadaneprzeznormy.Sąone,podobnie
jakprzestrzenieunormowane,przykładamiprzestrzeniliniowotopologicz-
nych—obiektówprzewijającychsięprzezcałąanalizęfunkcjonalną.
