Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.7.CAŁKOWANIE
45
przeliczalniewiele14.Cowięcej,wartościf(x)wkońcachprzedziałówwprzykładzie2
sąbezznaczenia.Czynapiszemyf(x)=1dla0≤x<1,czy0<x<1,czy
0≤x≤1,czyteż0<x≤1,niewpłynietonawynikcałkowania.
Wrozdziale6przedstawiliśmyróżnetwierdzeniaowartościśredniejdlapochod-
nych.Istniejerównieżcałkowetwierdzenieowartościśredniej.Jeżelif(x)jestciągła
wprzedziale[a,b],toistniejew[a,b]punktctaki,że
∫
a
b
f(x)dx=(b–a)f(c).
(7.10)
Bysprawdzić,żerzeczywiścietakjest,przyjmijmymiModpowiedniorównenajmniej-
szejinajwiększejwartościf(x)w[a,b].Zrównania(7.6)wynika,że
m≤
b–a∫
1
a
b
f(x)dx≤M.
Funkcjaf(x)jestciągła,więcprzyjmujewszystkiewartościmiędzymaM.Gdzieś
wprzedziale[a,b]jestzatempunktcspełniający
b–a∫
1
a
b
f(x)dx=f(c).
(7.11)
Równanie(7.11)oznacza,żepoleodpowiadającecałce∫
af(x)dxjestrównepolupro-
b
stokątaograniczonegoprzezprostex=a,x=b,y=0iy=f(c).Rysunek1.52
ilustrujesensrównania(7.10).
Rys.1.52.Ilustracjacałkowegotwierdzeniaowartościśredniej
(równanie(7.10)).Poleprostokątajestrównezacieniowanemu
obszarowipodkrzywą
Uogólnieniecałkowegotwierdzeniaowartościśredniejmówi,żejeżelif(x),g(x)
ig,(x)sąciągłew[a,b]orazg(x)niezmieniaznakuw[a,b],toistniejepunktcw[a,b]
taki,że
∫
a
b
f(x)g(x)dx=f(c)∫
a
b
g(x)dx.
(7.12)
Zauważmy,żegdyg(x)=1,równanietoredukujesiędorównania(7.10).
Całki,jakierozważaliśmydotąd,obliczaliśmyodpunktuadob.Takiecałkinazywa
sięcałkamioznaczonymi.Jeżeligórnągranicębzastąpimyzmiennąx,całkatastanie
sięfunkcjązmiennejx,nazywanącałkąnieoznaczoną.Zapisujemytotak:
F(x)=∫
a
x
f(u)du.
(7.13)
14Innymisłowy:funkcjaoprzeliczalniewielupunktachnieciągłościjestcałkowalna(przyp.tłum.).
