Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
1.Całkinieoznaczone
y
0
y=F(x)+2
y=F(x)+5
y=F(x)+1
y=F(x)
y=F(x)−1
y=F(x)−3
x
4
2
2
Rysunek1010Interpretacjageometryczna
całkinieoznaczonej
ii)Niechf(x)=cosx+1
x,dlax∈(0,1).Ponieważ(sinx)!=cosxoraz(lnx)!=1
x
dlax∈(0,1),więcfunkcjaF:(0,1)→RdanawzoremF(x)=sinx+lnx+10jest
przykłademfunkcjipierwotnejfunkcjifnaprzedziale(0,1).
I
Pytanie,którenasuwasięwnaturalnysposób,jestnastępujące:Czykażda
funkcjamafunkcjępierwotną?Możnapokazać,żetakniejestinaprzykład
funkcjaf:(−1,1)→Rdanawzorem
f(x)=
(
4
−1dlax∈(−1,0)
0
dlax=0
,
l
1
dlax∈(0,1)
niemafunkcjipierwotnej,tzn.nieistniejetakafunkcjaFokreślonanaprzedziale
(−1,1),żeF/(x)=f(x)dladowolnegox∈I.Jestnatomiastprawdą,żekażda
funkcjaciągłanaprzedzialeImanatymprzedzialefunkcjępierwotną.
JeślifunkcjafmafunkcjępierwotnąFnapewnymprzedzialeI,torodzinę
wszystkichfunkcjipierwotnychfunkcjif,któresąpostaci
F(x)+C,
x∈I,
gdzieCjestdowolnąstałąrzeczywistą,nazywamycałkąnieoznaczonąfunkcjif
ioznaczamysymbolem
/f(x)dx.
Funkcjęfnazywamyfunkcjąpodcałkową,liczbęCstałącałkowania,azapis
∫f(x)dxczytamy„całkaf(x)podx”,przyczym„dx”wskazujenazmienną,
względemktórejcałkujemy.
Nieoznaczonośćwpowyższejdefinicjipoleganatym,żesymbolcałki∫nie
oznaczaściśleokreślonejfunkcji,lecznieskończeniewielefunkcji,któreróżniąsię
ostałą.Dlategouzasadnionyjestnastępującyzapis:
/f(x)dx=F(x)+C,
gdzieF/(x)=f(x)dlax∈I,aCjestdowolnąstałąrzeczywistą.
